重さ半整数の保型形式とメタプレクティック群の表現

• 研究課題/領域番号: 22K20333
• 研究種目: 研究活動スタート支援
• 配分区分: 基金
• 審査区分: 0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
• 研究機関: 東京大学
• 研究代表者: 石本 宙 東京大学, 大学院数理科学研究科, 特任研究員 (40965175)
• 研究期間 (年度): 2022-08-31 – 2023-03-31
• 研究課題ステータス: 中途終了 (2022年度)
• 配分額: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円); 2023年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円); 2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
• キーワード: 奇数次特殊直交群 / 保型表現 / メタプレクティック群 / 重さ半整数の保型形式 / 保型形式

研究開始時の研究の概要

保型形式や保型表現は整数論において価値のある情報を多く含んでいる研究対象である。しかし、重さ半整数の保型形式やメタプレクティック群の保型表現は、重さ整数の保型形式や古典的な代数群の保型表現よりも研究の歴史が浅く、知られていないことが多い。本研究は、重さ半整数の保型形式の理論とメタプレクティック群の保型表現論のさらなる発展への貢献を目的として、重さ整数の保型形式や古典的な代数群の保型表現との関係やその応用について調べる。

研究実績の概要

前年度から取り組んでいた、奇数次特殊直交群の内部形式のアーサー重複度公式と局所ラングランズ対応の成果を論文にまとめ、雑誌投稿した。
重さ半整数で次数２のジーゲル保型形式についての伊吹山同型を発展させた重さ半整数の大きな離散系列表現の同型定理と、次数２のメタプレクティック群の局所新形式の理論の研究に取り組んだ。
伊吹山同型の発展については、調べるべき対象と類似した、シンプレクティック群の大きな離散系列表現に関する研究を、１月の研究集会で学んだ。その後その研究のプレプリントから情報収集をした。結果として、求めていた同型対応の定式化と証明はできた。しかし、より詳細な記述が欲しいという考えに至った。今後はシンプレクティック群の大きな離散系列表現について調べ、メタプレクティック群に移植するという課題を設定した。
次数２のメタプレクティック群の局所新形式については、内視的指標関係式を用いたユニタリ群における先行研究を勉強し、メタプレクティック群のケースとの違いについて調べた。大きな違いを２つあった。ユニタリ群は一般線形群の捻られた内視群であり両群には包含関係があるのに対し、メタプレクティック群の内視群は特殊直交群であり複数の準同型で結ばれることがひとつ。もうひとつは、ユニタリ群の場合には局所内視的移送因子が自明になるが、メタプレクティック群の場合には非自明となることである。そして、これらの違いを乗り越えて局所新形式の予想を証明する大まかな方針が立った。
また、新形式と関連して、メタプレクティック群の不分岐ヘッケ環について調べた。方針は明確に立てたものの、その具体的な計算が思いの外に複雑であり、今後の課題として残った。