| 研究課題/領域番号 |
22K20336
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
勝呂 剛志 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (20965157)
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| 研究期間 (年度) |
2022-08-31 – 2023-03-31
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| 研究課題ステータス |
中途終了 (2022年度)
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| 配分額 *注記 |
2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | Keller-Segel 系 / 移流拡散方程式 / 函数不等式 / 最良定数 / 走化性方程式 / 局所正則性 / エントロピー |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では, 自己重力作用を持つ粒子や走化性による粘菌の運動を記述する数理モデルに現れる移流拡散方程式を考える. 移流拡散方程式は移流効果を与える非線形干渉項を擁する拡散方程式であり, 空間遠方における解の情報が解の空間局所的な情報に影響を与える非局所性が非線形項に現れる. この非局所性により放物型偏微分方程式で用いられる比較定理といった解析手法を移流拡散方程式に適用するのは一般的に困難である. 本研究では, 移流拡散方程式の初期値問題の解の局所正則性を考えることで, 解の空間局所的な振る舞いを解明する.
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| 研究実績の概要 |
本年度に実施した研究の成果として、走化性粘菌の運動を記述するKeller-Segel系の単純化である移流拡散方程式の初期値問題の解の空間局所的な振る舞いを研究した。この方程式系は2本の偏微分方程式からなる非線形偏微分方程式系であり、第二式は楕円型偏微分方程式で与えられる。そのため、空間遠方における解の振る舞いが解の空間局所的な性質に影響を与える非局所的効果が現れる。そこで、函数の局所的な振る舞いと空間遠方における振る舞いを異なるLebesgue空間の指数で捉えることができるアマルガム空間における初期値問題の適切性を示した。これにより、第二式の解のポテンシャルに対して、初期値に課す適切な空間遠方における減衰度の予想が得られた。また、解の空間局所的な振る舞いの研究は困難となるが、小川卓克氏と和久井洋司氏との共同研究により、函数列のコンパクト性に基づいた形状分解定理を適用することで、Hardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数を用いることで、爆発する解の局所的な積分量の下からの評価が得られた。一般に有界な函数列を考えた際、平行移動要素や尺度要素により、コンパクト性が欠如することがあるが、ここでは、方程式に対応するエントロピーの有界性を用いることで、強収束先と期待される函数列のプロファイルを取り出すことができた。この手法は、可積分函数からなる函数空間や確率測度空間上での変分問題においても適用可能であり、Keller-Segel系やBoltzmann方程式への応用が期待される。
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