| 研究課題/領域番号 |
22K20342
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| 研究種目 |
研究活動スタート支援
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
0201:代数学、幾何学、解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 学習院大学 |
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研究代表者 |
軽尾 浩晃 学習院大学, 理学部, 助教 (80963363)
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| 研究期間 (年度) |
2022-08-31 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | スケイン代数 / 指標多様体 / 量子団代数 / 量子タイヒミュラー空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は, スケイン代数を用いて低次元トポロジーおよび他分野への応用を見込むものである. 具体的には, 指標多様体・量子団代数への応用を念頭に置いている.
前者に関しては, 指標多様体のAzumaya集合とシンプレクティック葉の関係性を非半単純位相的場の理論由来のスケイン代数の表現を用いて明確にする.
後者に関しては, Fock--Goncharovの与えた双対写像の量子化をMullerスケイン代数を用いて与え, 曲面の無限族に対して正値性予想の肯定的解決を目指す.
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| 研究成果の概要 |
J. Korinman氏との共同研究では以下の結果を得た. (1) 指標多様体のZariski稠密開集合であるAzumaya集合を明確に与えた. 応用として, 非半単純位相的場の理論由来のTorelli群の射影表現を簡潔に再解釈することができた. (2) 懸案であった穴あき曲面に対するスケイン代数の有限次元表現を分類した. この分類のために, 曲面の分解に関するAzumaya集合の分解公式を与えた.
東北大学の石橋典氏との共同研究として, 構造定数の正値性予想のスケイン代数的な解釈を与え, いくつかのマーク付き曲面に対して, 構造定数を具体的に与えることで正値性予想を証明した.
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| 研究成果の学術的意義や社会的意義 |
Korinman氏との共同研究(1)はLe--Yuのサーベイにおける予想の反証になっており, インパクトがある. 特に, 非半単純位相的場の理論由来のスケイン代数の表現や量子6j記号を用いており, 先行研究のアイデアや手法とは非常に異なっている. (2)では, 量子団代数のAzumaya集合に関する結果の適用が証明の根幹になっており, 低次元トポロジーに収まらない研究として意義がある.
石橋典氏との共同研究について, 構造定数の正値性予想のスケイン代数的な解釈の恩恵として, 比較的簡単な曲面に対しては, スケイン代数の範疇で図式的かつ具体的に構造定数が理解できるというのが本研究の有用性である.
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