| 研究課題/領域番号 |
22KJ0726
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| 補助金の研究課題番号 |
22J00360 (2022)
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 (2023)
補助金 (2022) |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分12010:基礎解析学関連
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| 研究機関 | 京都大学 (2023)
東京大学 (2022) |
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研究代表者 |
曽我部 太郎 京都大学, 理学研究科, 助教
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| 研究期間 (年度) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2022年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 作用素環 / Spanier-Whitehead双対 / KK-理論 / ホモトピー論 / Reciprocality / Spanier--Whitehead双対 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
作用素環のバンドルや関連するKK-理論などに現れるホモトピー論的な現象を研究する. 特に自己同型群のホモトピー群に関するKirchberg環のreciprocalityやその群作用との関わりを調べる.
KK-理論のSpanier--Whitehead双対から作用素環の拡大についての双対性(strong K-theoretic duality)を理解する.またgroupoidやtopological full groupのホモロジーについて知見を広げ, 新たな課題を模索する
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| 研究実績の概要 |
作用素環の中でもKirchberg環と呼ばれるクラスはKK-理論と深いかかわりがあり, 通常は計算することが困難な自己同型群のホモトピー群を計算することができる.
分類理論との関わりから, Kirchberg環とそのK-群については様々な先行研究があり, それらを足掛かりに自己同型群のホモトピー群に着目して研究を行った.
この自己同型群のホモトピー群を計算する中でKirchberg環に対してReciprocalityという性質を導入した. この性質についての研究を続け, ReciprocalityのもとになるKK-群のSpanier-Whitehead双対がある種の完全性を持つことを証明した.
更に近年松本健吾氏によって発見されたCuntz-Krieger環のToeplitz拡大についての双対性についても研究を行い, この双対性の背後にSpanier-Whitehead双対を用いてReciprocalityと似た構造があることを明らかにした.
これらの結果はイギリスCardiff大学のUlrich Pennig氏との共同研究であり, 共著論文としてまとめられている.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
松本健吾氏のStrong K-theoretic dualityの研究において当初の予想以上にこの双対性がReciprocalityと似ていることが明らかとなり, さらにCuntz-Krieger環のToeplitz拡大という先行研究の枠組みを拡張し有限生成なK-群をもつ一般のKirchberg環の任意の拡大に対してStrong K-theoretic dualityが成り立つことを証明できたため.
さらにこの一般化に際して上記の双対性の新しい側面として, 拡大に自然に付随する２つのexact triangleの役目が入れ替わる現象を見つけ, この現象について理解を深めるという新しい目標ができたため.
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| 今後の研究の推進方策 |
Strong K-theoretic dualityの研究において明らかになった２つのexact triangleが入れ替わる現象について研究を進める.
この2つの入れ替わりはK-群の6-項完全列とExt群の6-項完全列の対応として, strong K-theoretic dualityの中に現れてきたが, この理解を深めることでK-群をfiltered K-群に, そしてExt群を「何か」に一般化できるのではないかという方針を立てている.
当面の目標は, 非自明なfiltered K-群が現れる拡大に対して具体計算を行いfiltered K-群の相方たりえるExt群のようなものの候補を探ることである.
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