| 研究課題/領域番号 |
22KJ0775
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| 補助金の研究課題番号 |
22J10387 (2022)
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 (2023)
補助金 (2022) |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
李 公彦 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2023-03-08 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
2023年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2022年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
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| キーワード | p進コホモロジー / クリスタリンコホモロジー / クリスタリンサイト / ド・ラーム複体 / プリズマティックコホモロジー / q-クリスタリンコホモロジー / 高レベルp進コホモロジー / p進解析化 / q-ド・ラーム複体 / 収束アイソクリスタル |
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| 研究開始時の研究の概要 |
方程式を多様体として実現し，整数解等を研究する分野が数論幾何学であり，それを研究するためにp進コホモロジー論がある。多様体の重要な不変量としてp進エタールコホモロジー，ド・ラームコホモロジー等があり，これらの関連性を調べることが重要だが，プリズマティックコホモロジーは最近提唱された新たなp進的不変量であり，上の例を含む様々な不変量との比較が可能である。
本研究ではプリズマティックコホモロジー理論の適用範囲を，高レベル対数的な代数的構造を導入することより拡張する。また，差分方程式や過収束性等の解析的な手法も導入し，本理論をより一般的な状況で展開することを目指す。
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| 研究実績の概要 |
本年度では，博士課程で行なった，高レベルq-クリスタリンコホモロジー論や，これを計算する具体的な複体についての研究成果を博士論文「q-de Rham complexes of higher level」としてまとめた．通常のレベルmクリスタリンコホモロジーを計算する複体としては，Le Stum-Quirosによる，コホモロジーを直接計算するが構造が複雑なジェット複体や，宮谷による，多くの理想的な性質を持つがコホモロジーを直接計算するほど精密ではない高レベルド・ラーム複体がある．自分は博士論文において，これらの構成やBhatt-Scholzeによるq-ド・ラーム複体と整合的な，高レベルq-クリスタリンサイト上の完備クリスタルを係数とするコホモロジーを計算する，高レベルド・ラーム複体及びジェット複体のq類似を構成した．この構成のために，まずBerthelotによる高レベル二項係数のq類似の理論を新たに整備し，レベルmにおけるq類似を考える際，基本的にqのp^m乗に関する概念を考えたほうが適切であることを示した．この観測に基づき，m-q^{p^m}-クリスタリンサイトにおける重要な対象を，q^{p^m}-PD包絡を用いて記述し，良い状況においては，m-PD多項式代数の自然なq類似と一致することを証明した．これらの結果により，古典的理論における線形化とストラティフィケイションに関する結果の高レベルq類似を示すことができ，高レベルq-ド・ラーム複体，q-ジェット複体及びこれらの線形化の構成と計算を行なうことができる．最終的には，これらの複体の微分の計算に基づき，対応するポアンカレの補題を示すことにより，係数付きm-q^{p^m}-クリスタリンコホモロジーが計算されることを示した．これらの具体的な計算により，収束q-クリスタリンコホモロジー等新たなp進解析的な理論の展開が期待される．
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