| 研究課題/領域番号 |
22KJ2701
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| 補助金の研究課題番号 |
22J13607 (2022)
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 (2023)
補助金 (2022) |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
金村 佳範 慶應義塾大学, 理工学研究科(矢上), 特別研究員(DC2)
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| 研究期間 (年度) |
2023-03-08 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
完了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,700千円 (直接経費: 1,700千円)
2023年度: 800千円 (直接経費: 800千円)
2022年度: 900千円 (直接経費: 900千円)
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| キーワード | 数論統計 / 有理点問題 / 代数曲線 / Selmer群 / 連分数展開 / 楕円曲線 / 局所大域原理 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、2元4次形式を用いて定義される4次曲面族の内、有理点を持つものの割合評価の精密化を目的とする。割合評価の精密化を行う際、数の幾何といった解析数論で重要な手法やBrauer群やSelmer群といった数論幾何で重要な対象が本質的な役割を果たす。本研究では、数の幾何の改良やBrauer群やSelmer群の構造解析を通して解析数論と数論幾何双方の発展に寄与することを目指す。
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| 研究実績の概要 |
本年度は特定の曲線や曲面上の有理点問題について研究を進めた。本研究は当初の目標であった2元4次形式から定まる4次曲面族で有理点を持つものの割合の評価とはやや逸れるものの、研究過程にて曲面族での有理点を持つ割合に関しても一定の知見を得ることが出来た。
まず、特定の2元4次形式から定まる種数1の曲線族において、有理点を持つ割合を評価することが出来た。この結果は、特定の3元3次形式から定まる種数1の曲線族で有理点を持つ割合を評価したBrowningの結果の2元4次形式類似に相当する。また、特定の曲線族ではGoldfeld予想の下で有理点を持つ割合の値を予想した。有理点を持つ割合の値がexplicitに判明している多様体族は多くないため、得られた予想は非常に興味深い。本結果は石塚裕大氏（九州大）との共同研究として論文にまとめ、Tokyo Journal of Mathematics誌に受理された。なお、本研究について、更に広い特定の2元4次形式から定まる曲線族でも有理点を持つ割合が評価できる余地があり、現在研究を進めている。
また、昨年取り組んでいた実二次無理数の整数係数連分数展開と深く関わりのあるPCF多様体上の整数点に関して、新たに特定の型を持つPCF曲面上の整数点を決定することが出来た。本研究は吉崎彪牙氏（東京理科大）との共同研究であり、昨年度得られた結果も含めた論文を準備中である。
その他にも、特定の多様体族において有理点を持つ割合を評価する研究を行った。
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