| 研究課題/領域番号 |
22KJ2908
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| 補助金の研究課題番号 |
22J00874 (2022)
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| 研究種目 |
特別研究員奨励費
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| 配分区分 | 基金 (2023)
補助金 (2022) |
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| 応募区分 | 国内 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
河野 隆史 早稲田大学, 理工学術院, 特別研究員(PD)
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| 研究期間 (年度) |
2023-03-08 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
中途終了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2022年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
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| キーワード | 量子K環 / 旗多様体 / アフィンGrassmann多様体 / Lagrangian Grassmannian / Peterson同型 / Chevalley公式 / 半無限旗多様体 / 同変量子K環 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
一般旗多様体に対して，量子K環という代数が定まる．この代数構造は，Gromov-Witten不変量の類似物を用いて定義されており，一般には複雑である．量子Schubert calculusでは，この代数構造を組合せ論的に記述することが1つの主問題である．
本研究では，一般旗多様体のトーラス同変量子K環の代数構造の解明を目指す．このトーラス同変量子K環は，半無限旗多様体のトーラス同変K群のある剰余群と同型である．半無限旗多様体のトーラス同変K群は，アフィン量子群の表現論と密接に関係しており，組合せ論的に扱える．そこで，半無限旗多様体を利用して一般旗多様体のトーラス同変量子K環の代数構造を調べる．
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| 研究実績の概要 |
本年度は，まずC型旗多様体のトーラス同変量子K環の表示を完成させた．昨年度の研究において，C型旗多様体のトーラス同変量子K環を，あるLaurent多項式環の剰余環として明示的に記述する予想を立てた．本年度は，その予想に証明を与えた．今後，この表示を通してSchubert類をLaurent多項式として記述することで，旗多様体の量子K環の積構造の解明につながると考えられる．本研究は，内藤との共同研究である．
次に，Lagrangian Grassmannianのトーラス同変量子K環に対するK-Peterson写像の核の生成元を明示的に与えた．K-Peterson写像とは，アフィンGrassmann多様体のトーラス同変Kホモロジー環から一般旗多様体のトーラス同変量子K環への全射環準同型であり，Schubert類を保つものである．昨年度の研究において，K-Peterson写像の核に含まれる非自明な元を発見し，それらが核の生成元であることを予想した．本年度は，その元たちが実際に核の生成元であることを証明し，予想の証明を完成させた．本研究の結果やその証明により，一般旗多様体の量子K環の積構造を調べる方法として，アフィンGrassmann多様体という別の対象を利用する方法の存在が示唆された．本研究は，池田・中山・山口との共同研究である．
さらに，旗多様体およびA型2ステップ旗多様体・isotropic Grassmannian(C型)のChevalley公式における構造定数の正値性を明らかにした．量子K環においては，Schubert類の積に関する構造定数について正値性が成立することが予想されている．本年度は，過去に得たChevalley公式の組合せ論的記述を用いて，先述の多様体のChevalley公式における構造定数の正値性を証明した．本研究は，Lenart・内藤・佐垣との共同研究である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画にあるChevalley公式の記述は，計画の方法では困難であることが判明している．しかし本年度は，当初の研究目的である量子K環の積の組合せ論的記述に貢献しうる新たなアプローチを得ることができた．よって，目的の達成へ向けて順調に進展しているといえる．
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は，これまでの半無限旗多様体を用いたアプローチに加えて，本年度までの研究で新たに得られた，アフィンGrassmann多様体を用いたアプローチを試みる．
当初の研究計画では，一般旗多様体のトーラス同変量子K環におけるChevalley公式の記述を，旗多様体の場合のChevalley公式における余分な項を消去することによって得ることを計画していた．この消去は旗多様体の量子K環から一般旗多様体の量子K環への全射環準同型の核に由来している．一方この核は，K-Peterson写像の核と対応するものであるから，アフィンGrassmann多様体の観点から量子K環のChevalley公式の記述を得ることも可能であると考えられる．そこで，今後の研究では，アフィンGrassmann多様体を取り入れて，多角的にChevalley公式などSchubert構造定数の記述を目指す．
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