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周期境界条件下における非線形分散型偏微分方程式の初期値問題の適切性

研究課題

研究課題/領域番号 23840022
研究種目

研究活動スタート支援

配分区分補助金
研究分野 基礎解析学
研究機関京都大学

研究代表者

岸本 展  京都大学, 学内共同利用施設等, 助教 (90610072)

研究期間 (年度) 2011-08-24 – 2013-03-31
研究課題ステータス 採択後辞退 (2012年度)
配分額 *注記
2,600千円 (直接経費: 2,000千円、間接経費: 600千円)
2012年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2011年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
キーワード非線形Schrodinger方程式 / Zakharov方程式 / 初期値問題の適切性 / 周期境界条件 / 解の爆発 / I-メソッド
研究概要

本研究の目的は,分散型と呼ばれるクラスの非線形偏微分方程式の初期値問題の局所および大域適切性を,広いクラスの(正則性の低い)初期値に対して解明することであり,特に周期境界条件下での(即ちトーラス上の)初期値問題を扱うこととしている.平成23年度は主として以下の3つの成果があり,いずれも論文を投稿中である.
1.非線形Schrodinger方程式と非線形波動方程式からなるZakharov方程式系について,エネルギー空間において2次元・周期境界条件下での初期値問題を考察し,初期値の大きさが対応する非線形Schrodinger方程式の基底状態解の大きさ以下であれば初期値問題は時間大域的に適切,またそれより少しでも大きいと解は一般に時間大域的でない(有限時間で爆発(エネルギーノルムが発散)する解が存在する)ことを示した(前田昌也氏(東北大学)との共同研究).これにより,初期値に周期境界条件を課さない場合には十数年前から知られていた事実が周期境界条件下でも同様に成立することが確かめられた.
2.1と同様の初期値問題で,エネルギー空間に含まれない広いクラスの初期値に対して時間大域適切性を得た.証明の手法として交付申請書に記載したI-メソッドに加え,波数間の共鳴現象の解析に基づいた修正エネルギー汎関数の構成を行い,先行結果を大幅に改善することに成功した.
3.冪乗型の非線形項を持つ非線形Schrodinger方程式(空間1次元で5次の非線形項,および2次元で3次の非線形項)の周期境界条件下での初期値問題について,尺度変換で不変な臨界正則性の空間に属する初期値に対しては,初期値と解との対応が十分小さな初期値を考えたとしても滑らかになり得ないことを示した.これは周期境界条件のない場合と比較したこの問題の本質的な困難さを表しており,適切性の解明にむけての重要な示唆を与えるものである.

報告書

(1件)
  • 2011 実績報告書
  • 研究成果

    (8件)

すべて 2012 2011

すべて 学会発表 (8件)

  • [学会発表] Remark on the L2-critical nonlinear Schrodinger equation on torus2012

    • 著者名/発表者名
      岸本展
    • 学会等名
      日本数学会年会
    • 発表場所
      東京理科大学
    • 年月日
      2012-03-28
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Well-posedness and finite-time blowup for the Zakharov system on two-dimensional torus2012

    • 著者名/発表者名
      Nobu Kishimoto
    • 学会等名
      Calderon-Zygmund Analysis Seminar
    • 発表場所
      University of Chicago, USA(招待講演)
    • 年月日
      2012-03-05
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Well-posedness and finite-time blowup for the Zakharov system on two-dimensional torus2012

    • 著者名/発表者名
      Nobu Kishimoto
    • 学会等名
      Fields Analysis Working Group Seminar
    • 発表場所
      University of Toronto, Canada(招待講演)
    • 年月日
      2012-03-01
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Well-posedness and finite-time blowup for the Zakharov system on two-dimensional torus2012

    • 著者名/発表者名
      Nobu Kishimoto
    • 学会等名
      Analysis Seminar
    • 発表場所
      Princeton University, USA(招待講演)
    • 年月日
      2012-02-27
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Blow-up solution for the Zakharov system on two-dimensional torus2012

    • 著者名/発表者名
      岸本展
    • 学会等名
      研究集会『若手のための偏微分方程式と数学解析』
    • 発表場所
      九州大学(招待講演)
    • 年月日
      2012-02-13
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Blow-up solution for the Zakharov system on 2D torus2011

    • 著者名/発表者名
      岸本展
    • 学会等名
      第3回白浜研究集会
    • 発表場所
      和歌山県白浜町
    • 年月日
      2011-12-13
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Blow-up solution for the Zakharov system on 2D torus2011

    • 著者名/発表者名
      岸本展
    • 学会等名
      日本数学会秋季総合分科会
    • 発表場所
      信州大学
    • 年月日
      2011-10-01
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書
  • [学会発表] Global well-posedness for the 2D Zakharov system2011

    • 著者名/発表者名
      岸本展
    • 学会等名
      RIMS共同研究『非線形双曲型および分散型方程式の研究』
    • 発表場所
      京都大学数理解析研究所(招待講演)
    • 年月日
      2011-05-25
    • 関連する報告書
      2011 実績報告書

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公開日: 2011-09-05   更新日: 2019-07-29  

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