| 研究課題/領域番号 |
23K03046
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
山木 壱彦 筑波大学, 数理物質系, 教授 (80402973)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | ハイブリッド空間 / ベルコビッチ空間 / トロピカル幾何 / アラケロフ幾何 / トロピカル化 / 非アルキメデス的幾何 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
大域的な体（例えば有理数体や函数体）上の代数多様体は，素朴には、その体上の多項式の零点集合として与えられ，自然に「有理点」や「代数的点」が興味の対象となる．これらを研究するにあたって，各素点における「局所的」情報を束ねて「大域的」情報を得るという手法がしばしば有効となるが，統一した扱いは必ずしも簡単ではない．こうした課題を念頭にハイブリッド空間を研究し，それを算術的問題に応用することを計画している．
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| 研究実績の概要 |
研究代表者は、アラケロフ幾何との関連の中で、代数多様体の退化とそれによる算術的不変量への影響について興味を持っている。曲線に対するボゴモロフ予想という、曲線上の高さの小さい点が少ないという予想があったが、その研究では曲線に付随した種々の算術的不変量が非常に重要な役割を果たしていた。その不変量には、代数曲線の退化の情報が大きく寄与する。しかしながら、その情報の寄与の仕方が複雑でどのような仕組みで寄与するのかを明確に述べるのは難しい。
本研究では、退化の情報を、退化する素点における非アルキメデス幾何的対象、すなわち、ベルコビッチ解析空間やトロピカル多様体の幾何的情報として解釈することを目標にしている。その有力な方法として、ハイブリッド空間による記述が期待されている。
本年度は、ハイブリッド空間を用いた算術的不変量の解釈に向けた準備として、主に二つの側面で研究を進めた。一つは、ハイブリッド空間に詳しい専門家との議論および情報交換である。2024年1月に研究代表者が世話人の一人として関わった "Workshop on nonarchimedean geometry and related fields" は、そのための重要な機会であり、多角的視点からハイブリッド空間を観察することができた。
もう一つは、トロピカル多様体の研究である。トロピカル多様体はある種のハイブリッド空間の構成要素であり、本研究の主要な対象でもある。本年度は、主にトロピカルアーベル多様体とその直線束について研究を進めた。特に、忠実埋め込みについては一定の成果が得られ、論文としてまとめている最中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
トロピカルアーベル多様体に関する研究については概ね見込み通り順調に進んでいる。一方で、ハイブリッド空間そのもの研究は、課題解決に向けて進み始めてはいるものの、当初予定していた形でのまとまった結果は得られていない。その点で、上記の区分とした。
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| 今後の研究の推進方策 |
ハイブリッド空間の研究をより推進するために、国外の専門家との議論をより活発に行う必要がある。それを実行するために、国外（具体的にはドイツのレーゲンスブルク大学）への出張を計画している。当大学は非アルキメデス幾何に関する専門的知見をもった研究者が集まっており、そこで議論することにより本研究を大きく推進させることができると考えている。
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