| 研究課題/領域番号 |
23K03055
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 大阪公立大学 |
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研究代表者 |
山名 俊介 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50633301)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2027年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | p進L関数 / 周期 / コンパクトユニタリ群 / 肥田族 / 概正則保型形式 / 微分作用素 / 市野-池田公式 / 対角周期 / 保型形式 / Gross-Zagier公式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
1986年にGrossとZagierが証明した楕円曲線のHeegner点の高度をL関数の1階微分値に関係付ける公式はGross-Zagier公式と呼ばれ、現代数論に巨大な影響を及ぼしています。そのp進類似として、の微分値とHeegner点のp進高度を結びつける公式はp進Gross-Zagier公式と呼ばれています。本研究ではp進Gross-Zagier公式の高次元化として、円分三重積p進L関数の中心微分値と対角サイクルのp進高度に結び付ける、或いはユニタリ群の直積群のp進L関数の補間領域外での値と対角サイクルのp進Abel-Jacobi写像での像を結びつけることを目指します。
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| 研究実績の概要 |
筆者は本年度に台湾国立大学のMing-Lun Hsieh教授とU(3)の3変数肥田族とU(2)の2変数肥田族からコンパクトなユニタリ群の直積U(3)xU(2)の5変数p進L関数を構成した。これはMing-Lun Hsiehと東京電機大学の千田雅隆教授が研究した楕円モジュラー形式の反円分p進L関数の高次元化である。この研究のためにコンパクトユニタリ群の肥田族のペアリングや対角サイクルに関して詳しい研究を行なった。
さらに筆者は、Ming-Lun Hsiehとコロンビア大学のMichael Harris教授と共に昨年度に構成した準分裂ユニタリ群の直積U(2,1)xU(1,1)上の正則モジュラー形式のp進L関数を概正則モジュラー形式の場合に拡張した。これは、ここ数年活発に研究されている楕円モジュラー形式の肥田族の3重積p進L関数のユニタリ群での類似にあたる。
正則モジュラー形式の構成を一般化するために、筆者はユニタリ群U(r,s)のモジュラー形式の微分作用素を詳しく研究した。志村五郎は、このような微分作用素をジーゲルモジュラー形式やエルミートモジュラー形式に関して詳しく研究して、概正則保型形式の解析的代数的理論を構築した。楕円保型形式の微分作用素の場合にはスカラー値の保型形式を考えれば十分であったが、高次の微分作用素はスカラー値モジュラー形式をベクトル値モジュラー形式に写すため計算が複雑になり、これまで具体的計算は全くされていなかった。筆者はU(2,1)の場合に志村微分作用素を明示的計算し、U(1,1)の制限や正則射影を計算した。この正則射影がCMテータ関数の高次微分値に関係することが、概正則モジュラー形式のp進L関数の構成の鍵である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
筆者は今年度に, 以下の研究を行ないました。
(1) コンパクトなユニタリ群U(3)xU(2)の5変数p進L関数の構成
(2) U(2,1)の志村微分作用素の研究
(3) 2022年度の実ユニタリ群U(2,1)xU(1,1)の正則離散系列の局所積分の計算の一般化
(4) 2022年度のU(2,1)xU(1,1)の正則保型形式のp進L関数の概正則保型形式への一般化
(2)により(3), (4)のようにU(2,1)xU(1,1)のp進L関数の構成を完成させることができた。これらはU(n+1)xU(n)のp進L関数の構成を目的とするコロンビア大学のHarris教授と台湾国立大学のMing-Lun Hsieh教授との共同研究であり、本年度の研究は順調に進展したと考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在までの進捗状況に書いた(2)は古典的Serre微分作用素やp-depletionの理論の拡張、(4)は対角周期のp進Abel-Jacobi写像などp進幾何やBlock-Kato予想など豊富な応用が期待される。筆者とMing-Lun Hsiehは以前に3重積p進L関数を詳しく研究したが、(1)と(4)はそのバランス型、非バランス型のユニタリ群での類似である。非バランス型の方が算術的あるいはp進的応用が豊富に見込まれるので、来年度以降、筆者は(4)で得られた解析的構成のp進的側面に関して研究を進める予定である。
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