| 研究課題/領域番号 |
23K03056
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
岩尾 慎介 慶應義塾大学, 商学部(日吉), 准教授 (70634989)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | ボゾン・フェルミオン対応 / 量子コホモロジー / 量子K理論 / 対称関数 / 旗多様体 / 対称多項式 / 旗多様体のK理論 / シンプレクティック旗多様体 / Kピーターソン同型 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では旗多様体(Flag variety)の幾何学を研究する。旗多様体は、線形代数学の理論を用いて定義される多様体の一つであり、対称多項式理論をはじめとする数学の各分野との関係が知られる一方、孤立波(ソリトン)方程式の相空間として自然に表れるなど物理学との関係も深い。本研究では旗多様体の「量子K理論」と呼ばれる構造を研究し、新しい対称多項式の体系を創造したり、波の方程式との関係を明らかにすることを目標とする。
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| 研究実績の概要 |
2024年度では、以下の内容の研究活動を行った: (i)論文「Tetrahedron equation and Schur functions」（茂木康平氏（東京海洋大学）、大川領氏（京都大学）との共著）において、「四面体方程式」と呼ばれる、3次元空間内の物理モデルを記述する方程式を考察した。その結果、四面体方程式の特別な解を得ることに成功した。一般に、3次元空間の物理モデルを解くのはとても難しいが、量子力学的な作用素を使って方程式を整理することで、あたかも「3次元パズル」を解くかのように方程式を解くことができる。（もちろん、その3次元パズル自体も簡単なものではない。）このような考察をすることで、「シューア関数」と呼ばれるよく知られた関数を組み合わせて、四面体方程式の特殊解が構成できることを証明した。(ii) 昨年度に出版された論文「Closed k-Schur Katalan functions as K-homology Schubert representatives of the affine Grassmannian」の内容を発展させ、「旗多様体」という重要な多様体の形状を計算する研究を行った。多様体の形状を計算する数学理論には様々なものがあるが、ここでは代数幾何学の手法を用いる「K理論」に着目した。K理論は、足し算と掛け算のできる「環」と呼ばれる構造を持っており、環の生成元と関係式を調べることが、多様体の形状の解明につながると期待される。本研究では、旗多様体のK理論を生成する対称関数「k-Kシューア関数」に注目し、その行列式による明示公式を得ることに成功した。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
本年度は、旗多様体のK理論の構造を明らかにする「k-Kシューア関数」の行列式による明示公式を得るなど、すぐれた進展があった。当該結果は論文としてまとめられ、現在海外論文誌に投稿中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
2024年度の結果を発展させて、以下の内容に取り組む予定である。(i) 別タイプの旗多様体への拡張。2024年度の結果は、最も基本的である「タイプAの旗多様体」を取り扱ったものである。一方、タイプB, タイプCの旗多様体も計算可能な構造を持っていることが知られており、これらの旗多様体にも本研究の結果が適用できると期待される。(ii) 可積分系との関係。旗多様体のK理論は、可積分系方程式の一つである「相対論的戸田方程式」とつながりを持っていることが知られている。この関係を利用することで、旗多様体の構造計算を効率的に進めることができるようになると、期待される。
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