| 研究課題/領域番号 |
23K03076
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
鍋島 克輔 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 准教授 (00572629)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 2,080千円 (直接経費: 1,600千円、間接経費: 480千円)
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| キーワード | ネター作用素 / 代数的局所コホモロジー / グレブナー基底 / 包括的グレブナー基底 / 局所コホモロジー / 双対空間 / 計算機代数 / 特異点変形 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
『双対空間の情報』と『素イデアル』を積極的に多項式イデアルに用い，計算機代数学の新たな理論構成をする．計算機代数学で主に用いられるイデアルの標準形または表現は，グレブナー基底という特別な生成元である場合が多い．しかしながら，グレブナー基底のみで全てを表現しようとすると，計算量と出力膨大という弊害がある．この問題を解消する一つの方法が，本研究で提案する『双対空間の情報』と『素イデアル』を用いた新たなイデアルの表現である．これによりグレブナー基底依存から開放されると共に，計算効率も改善されることが期待される．本研究では新たなイデアルの表現を導入することより，新たな枠組みの計算機代数学を創造する．
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| 研究実績の概要 |
初年度には予定してた正次元イデアルに付随するネター作用素の計算法の確立に成功した。計算機代数学のゼロ次元化の手法を用いることにより、正次元イデアルをゼロ次元イデアルとみなし、ゼロ次元イデアルのために構成した計算法がそのまま利用可能であることを証明した。また、確立した計算法は計算機代数システムに実装した。双対空間ので計算に必須の道具であるネター作用素の構成に成功した。この研究結果は論文にまとめられすでに公開されている。
双対空間の計算に必要となる別の道具として代数的局所コホモロジーがある。原点に台を持つ代数的局所コホモロジーの計算法は研究代表者により開発されている。この方法を拡張すべく座標変換を用いて代数的局所コホモロジーを計算する方法を提案すると共に、その応用として代数的局所コホモロジーを用いたイデアルの準素分解の手法も新たに考えられた。この研究結果はポーランドのワルシャワで開催された国際会議で発表された。
ネター作用素は特異点解析に役立ち、孤立してない特異点に付随するホロノミックD加群のためのネター作用素がどのように特異点解析に役に立つのかの研究も行った。これにより、ネター作用素からの情報が特異点の性質解明に大きな効果を発揮することがいくつかの具体例により示された。
計算機代数学において必須の道具である『グレブナー基底の計算』は本研究でも頻繁に行われる。また、特異点変形の研究も念頭に置いているのでパラメータ付きグレブナー基底（包括的グレブナー基底系）の計算も本研究では頻繁に必要になる。そこで、高速にパラメータ付きグレブナー基底を計算する手法についても考察され、新たなパラメータ付きグレブナー基底計算が確立された。これはKapur-Sun-Wangのアルゴリズムと鍋島アルゴリズム、また、ゼロ次元特化型の包括的グレブナー基底系のアルゴリズムを融合したことにより構成されている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の予定通り研究が進んでいる。本研究の基盤となるのは、ネター作用素と代数的局所コホモロジーの計算である。これらの計算法はゼロ次元イデアルの場合のみしか知られておらず、まずは一般のイデアルにまで拡張することが初年度の目標であった。目標を達成しており、予想した通りの拡張が数学的に保障されると共に、その計算法は計算機に実装された。初年度から研究結果が生まれており、国際会議での研究発表と論文の掲載がされている。
包括的グレブナー基底系を計算する新たな計算法も本研究で確立され、今後の研究に大いに役立つと思われる。
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| 今後の研究の推進方策 |
初年度に得られた結果を用いて、新たな計算機代数のイデアルを操作するアルゴリズムの考察を行う。計算機代数学の大きな利点の一つがグレブナー基底計算に代表される『イデアルの操作ができる』ことである。イデアルの和・商・共通部分・所属問題は基本的な操作でありグレブナー基底理論に基づき、現在、計算可能である。これらの操作を双対空間の情報を利用すると共に新たなデータ構造の下で別のアプローチをする。具体的には、グレブナー基底からの依存を軽くした別の計算法の可能性として『ネター作用素』と『素イデアル』のペアを用いたイデアルの計算について新たな枠組みを作る。
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