| 研究課題/領域番号 |
23K03088
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 名古屋工業大学 |
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研究代表者 |
松添 博 名古屋工業大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90315177)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2025年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
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| キーワード | 情報幾何学 / 統計多様体 / アファイン分布 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
曲線や曲面など、曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよびます．情報幾何学とよばれる分野では，抽象的な情報の集まりなどを曲がった空間と捉え，これらを多様体とみなします．
一般的な微分幾何学では，多様体上の微分構造に相当するアファイン接続に捩れがないものを議論します．しかしながら，量子情報理論，統計学における非保存系の推定関数の理論などでは，アファイン接続に捩れがある場合が自然です．
そこで本研究は，捩れを許す統計多様体の幾何学の基礎理論の構築を目指します．
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| 研究実績の概要 |
曲線や曲面など，曲がった図形の概念を高次元化したものを多様体とよぶ．情報幾何学では確率密度などを高次元空間内の点だと考え，情報の集まりがなす抽象的な空間，すなわち情報空間を多様体とみなす．さらに，情報空間に曲がった空間の内積に相当するリーマン計量，および曲がった空間の微分に相当するアファイン接続を考える．この幾何構造にアファイン接続の捩れが消えるなどの適切な条件を課したものが統計多様体である．統計多様体は情報幾何学では重要な概念であり，様々な分野の問題に現れる．しかしながら，量子情報理論，統計学における非保存系の推定関数の理論などでは，捩れが消えないアファイン接続も自然に現れる．そこで本研究は，捩れを許す統計多様体の幾何学を考え，その基礎理論の構築を目指す．
2023年度は情報幾何学において重要な双対平坦空間の幾何学を，捩れを許す統計多様体の視点から再検討した．通常の情報幾何学では双対平坦空間，ルジャンドル変換，双直交座標系などは統一的に議論される．しかしながら，これらの幾何構造を構成する条件には若干の差があり，双対平坦空間とルジャンドル変換・双直交座標系は個別に議論ができることを確認した．特に，適切な条件下では双対アファイン座標系は存在しないが，双直交座標系は存在する場合があることを確認した．研究計画当初の重要な課題であるアファイン分布の幾何学とプレ・ダイバージェンスの幾何学との関連についても，順調に研究が進行している．これらの研究成果は国際会議において発表しており，研究成果をまとめた論文は投稿準備中である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
捩れを許す統計多様体の幾何学について，その測地線の性質を解明することは研究当初からの目的であった．研究実績の概要で述べたように，双対アファイン座標系，すなわち双対接続に関する測地座標系と双直交座標系は，厳密には異なる概念であることを確認した．したがって，双対平坦空間で議論されてきた幾何学的性質のいくつかは，捩れを許す統計多様体においても議論ができる可能性がある．これは来年度以降に解決するべき新しい課題と考えている．またこれは，ある意味では研究開始当初の想定を超えた新しい進展である．
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| 今後の研究の推進方策 |
アファイン分布やプレ・ダイバージェンスの幾何学など，従来から行っていた捩れを許す統計多様体の幾何学について，引き続き議論をしていきたい．また，双対平坦空間の幾何学を精査し，何が双対平坦空間に固有な幾何学で，何が捩れを許す統計多様体に拡張可能な性質なのかを解明し，2023年度に得られた研究成果をさらに発展させたい．
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