| 研究課題/領域番号 |
23K03089
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 三重大学 |
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研究代表者 |
森山 貴之 三重大学, 教育学部, 准教授 (60532554)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2027年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2024年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 四元数ケーラー多様体 / 四元数多様体の自己同型 / 四元数構造 / 変形理論 / ツイスター空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
多様体の四元数構造とは, 局所的に３つの複素構造を基底にするような階数３の実ベクトル束で（ある可積分条件を持つものとして）与えられる. 更にそれらの複素構造がリーマン計量と両立するとき, 四元数ケーラー構造とよばれる. そのような構造を許容する実4n次元多様体をそれぞれ四元数多様体, 四元数ケーラー多様体という. 本研究は四元数ケーラー多様体上の四元数構造の変形理論（小平・スペンサー・倉西理論）の構築を目的とする. 研究方法としては四元数的反正則作用素の概念を導入し, そのコホモロジーを用いて, 四元数構造の変形複体及び倉西写像を構成する.
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| 研究実績の概要 |
研究代表者は四元数ケーラー多様体上のベクトル場に対し, ディラック作用に付随する微分作用素を導入し, ツイスター空間のデルバー作用素に対応することを示した。これによりツイスター空間の正則（多重）ベクトル場に対応する（多重）ベクトル場を四元数ケーラー多様体上に導入し、四元数（多重）ベクトル場と定めた。この対応はそれらを集めた空間の同型を引き起こし、更にそれぞれの空間に入る自然な実構造を保つ。また、括弧積を入れることによりリー環の構造が導入され、この同型は次数付きリー環としての同型となる。この結果（新田貴士氏との共同研究）をまとめた論文のPublications of Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto Universityへの掲載が決定した。これらのリー環は四元数構造の無限小変形と関係しており、その消滅や次元を調べることが四元数構造がどのくらい変形・存在するかといった研究につながっている。特に四元数ベクトル場のなすリー環は四元数多様体の自己同型群のリー環である。更に二次の多重ベクトル場の重要な対象であるポワソン構造について、リー環の同型はツイスター空間の正則ポワソン構造と四元数ケーラー多様体上のある括弧積が消えている二次の多重ベクトル場が対応することを意味しており、四元数的ポワソン構造の導入やその研究にも発展が期待できる。また、これらのリー環の同型の結果について新田貴士との打ち合わせを数回行い、四元数ケーラー多様体から四元数多様体の可能性も見出した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の目的である四元数構造の変形理論において自己同型のリー環について調べることは研究の第一段階にあたる。その意味で初年度としては変形理論の基礎の部分の研究に十分時間を使うことができたと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
四元数構造の変形の研究の次段階として無限小変形の空間を調べる。特に四元数的ベクトル場のなす空間に付随するコホモロジーを構成し、その次元や消滅を具体的な例で研究することにより変形の剛性や存在を示す。また、四元数多様体への拡張も同時に考える予定である。
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