| 研究課題/領域番号 |
23K03092
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
中川 征樹 岡山大学, 教育学域, 教授 (50370036)
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| 研究分担者 |
西本 哲 神戸医療未来大学, 人間社会学部, 教授 (80330520)
鳥居 猛 岡山大学, 環境生命自然科学学域, 教授 (30341407)
奥山 真吾 香川高等専門学校, 情報工学科, 准教授 (50290812)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2023年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
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| キーワード | シューベルト・カルキュラス / p-進鏡映群 / Hall-Littlewood関数 / 余不変式環 / トーラス同変コホモロジー / p-コンパクト群 / 有限ループ空間 / 一般等質空間 / 幾何学 / ユニタリー鏡映群 / 対称関数 / p－コンパクト群 / 旗多様体 / 複素鏡映群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
現代的なシューベルト・カルキュラスは「Grassmann多様体のコホモロジーSchubert類はSchur関数により表される」という事実を雛形として, 考察の対象である空間, コホモロジー論, 対称関数等を様々な方向へ広げながら, 代数幾何, トポロジー, 組合せ論, 表現論等を巻き込んだ形で大きく発展している. 本研究では, トポロジー・ホモトピー論の観点から, より一般の「p-コンパクト群」の等質空間上で, より一般のトーラス同変コホモロジー論を用いた「同変シューベルト・カルキュラス」を確立する.
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| 研究実績の概要 |
本研究の当面の目的は，ユニタリー鏡映群G(r,1,n)に対応するp-コンパクト群X(r,1,n)のホモトピー論的等質空間である一般ラグランジアン・グラスマン多様体および一般完全旗多様体のトーラス同変コホモロジー環について，研究代表者である中川と成瀬弘氏により導入されたファクトリアルHall-Littlewood Q-関数を利用したシューベルト表示を完成させることである。昨年度までの研究において，一般ラグランジアン・グラスマン多様体の複素数係数トーラス同変コホモロジー環のBorel表示に相当する同変(二重)余不変式環およびトーラスの作用に関する局所化写像に対応する代数的局所化写像を考察し，この写像が単射であって，その像が上記のファクトリアルHall-Littlewood Q-関数を特殊化したものを基底としてもつことが示されている。さらに，成瀬弘氏の協力の下，G(r,1,n)の長さ関数やBruhat順序，ルート系を構成することができた。これらは従来から知られているものとは異なる新しいものであり，本研究の目的に適ったものとなっている。今年度は，トーラス同変コホモロジー環のGKM表示の記述に必要なG(r,1,n)の元の転倒集合の記述やGKMグラフについて考察を進めた。さらには，トーラス同変コホモロジー環の，よりホモトピー論的な記述が望ましいという観点から，複素数体上ではなく，p-進整数環上で記述することを目指し，p-進整数環上のルートデータの記述，ホモトピー固定点集合を利用したトーラスの作用および局所化写像のホモトピー論的構成に取り組み，一定の成果を得ることができた。また，成瀬弘氏の協力の下，Ikeda-Mihalcea-Naruseの手法を利用して，X(r,1,n)の一般完全旗多様体のトーラス同変コホモロジー環のシューベルト基底の構成に必要なChevalleyの公式の類似物についての予想を立てることができている。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
3: やや遅れている
理由
コンパクトLie群のホモトピー論的類似物であるp-コンパクト群およびその等質空間は空間の完備化・局所化を用いて定義される繊細な空間であり，その取扱いには多くの技術的な困難が伴う。昨年度までの研究では，これらの空間およびコホモロジーの幾何的・ホモトピー論的考察に進む前に，代数的な対応物であるユニタリー鏡映群の二重余不変式環に関連する環，および代数的局所化写像を考察し，期待される結果が成り立つことを示すことができた。今年度は，Dwyer-Wilkersonのホモトピー固定点の手法を援用し，p-コンパクト群X(r,1,n)の幾何的・ホモトピー論的考察に取り組んでいるところである。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究により，ユニタリー鏡映群G(r,1,n)に対応するp-コンパクト群X(r,1,n)の等質空間である一般ラグランジアン・グラスマン多様体および一般完全旗多様体のトーラス同変コホモロジー環のシューベルト基底に相当するものを，ファクトリアルHall-Littlewood Q-関数およびChevalleyの公式の類似物を利用して構成するための代数的・組合せ論的な方針は定まっている。今後は，ホモトピー固定点の手法等のホモトピー論的手法を駆使し，上記の代数的な結果の幾何的・ホモトピー論的な裏付けを行い，幾何的・ホモトピー論的にも意味のある記述を目指し，研究を進めていく予定である。
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