| 研究課題/領域番号 |
23K03100
|
|---|
| 研究種目 |
基盤研究(C)
|
| 配分区分 | 基金 |
|---|
| 応募区分 | 一般 |
|---|
| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
|
|---|
| 研究機関 | 東京理科大学 |
|---|
研究代表者 |
田中 真紀子 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 教授 (20255623)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
|
| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
|
| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2025年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2024年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2023年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
|
|---|
| キーワード | 対蹠集合 / コンパクト対称空間 / コンパクトLie群 / 被覆準同型写像 |
|---|
| 研究開始時の研究の概要 |
対称空間の対蹠集合が対称空間のどのような幾何構造を反映しているのかについて研究する。まず極大対蹠集合を分類し、その分類結果を利用して対蹠集合の構造や性質を解明する。そのため本研究課題の研究目的の一つは、コンパクト対称空間の極大対蹠集合の合同類の分類を完成させることである。コンパクト対称空間の、リー群の極地としての埋め込みを利用する。さらに、得られた分類結果を応用して対蹠集合の性質や構造を解明する。モース関数との関連や、二面体群や四元数群を含む代数系との関連など、位相幾何学や有限幾何学、有限群論、組み合わせ論への応用も視野に入れて広い意味での幾何学の研究に取り組む。
|
| 研究実績の概要 |
田崎博之氏と共同で、2022年度に引き続き連結コンパクトLie群の極地としては実現できないいくつかの古典型連結コンパクト対称空間およびそれらの商空間の極大対蹠集合の合同類の分類を行い、極大対蹠集合の位数を求め、その最大値の決定と最大値をとる極大対蹠集合の決定を行った。具体的には、コンパクト対称空間UII(n)に対応する対称対(U(2n), Sp(n))を定めるU(2n)の対合的自己同型写像σに対して、U(2n)とσが生成するU(2n)の自己同型群の位数2の部分群<σ>との半直積（これは非連結コンパクトLie群）の極地としてUII(2n)が実現できることを利用した。UII(n)の極大対蹠集合の合同類の分類を得るために、U(2n)と<σ>の半直積の極大対蹠部分群の共役類の分類を行った。AII(n)については、σがSU(2n)の自己同型写像を誘導してSU(n)と<σ>の半直積の極地としてAII(n)が実現できることを利用した。AII(n)の極大対蹠集合の合同類の分類を得るために、SU(2n)と<σ>の半直積の極大対蹠部分群の共役類の分類を行った。主な古典型連結コンパクト対称空間の極大対蹠集合の合同類の分類が完了したので、得られた結果を論文としてまとめる作業に取りかかった。得られた結果については、日本数学会や国内外の研究集会で発表した。また、連結とは限らないコンパクトLie群の間の被覆準同型写像の被覆次数が奇数の場合に、極大対蹠部分群の共役類が被覆準同型写像を通じてある意味不変であることを証明した。この結果を論文としてまとめて数学専門学術雑誌に投稿した。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の計画の中で最後に残っていた連結コンパクト対称空間 UII(n), AII(n) およびこれらの商空間について、極大対蹠集合の分類と極大対蹠集合の位数の最大値の決定を完了させることができた。
|
| 今後の研究の推進方策 |
得られた結果について証明を確認かつ改良しながら論文としてまとめる作業を進めるのと並行して、分類結果を利用して極大対蹠集合とモース理論との関係を調べるなど、極大対蹠集合の幾何学的な構造性質についての考察を進める。
|
