リッチ曲率が下に有界なグラフ上の幾何解析

• 研究課題/領域番号: 23K03103
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群)
• 研究代表者: 小澤 龍ノ介 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 講師 (80838110)
• 研究期間 (年度): 2023-04-01 – 2028-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円); 2027年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円); 2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円); 2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: リッチ曲率 / グラフ / 最適輸送理論 / マルコフ連鎖 / 熱核 / 離散幾何解析 / 優リッチ流 / ラプラシアン

研究開始時の研究の概要

近年、測度距離空間上のリッチ曲率の下限条件である曲率次元条件やランダムウォーク付き距離空間上のコースリッチ曲率が研究されている。またこれらを適切にグラフへ拡張することにより、グラフ上のBakry--Emery型曲率次元条件とLin--Lu--Yau型リッチ曲率に関わる幾何解析は純粋数学的な立場のみならず応用的な立場からも活発に研究されている。
本研究の目的は、これらの曲率のアイディアを織り交ぜながらグラフ上で種々のリッチ曲率の下限条件と優リッチ流の熱流・熱伝播を用いた特徴付けやラプラシアンの固有値などに関する幾何解析を研究することである。

研究実績の概要

本年度は辺重みを持つ局所有限な有向グラフにおけるLin--Lu--Yau型のリッチ曲率を導入するための研究を山田大貴氏(島根大)と行なった。本研究では頂点数が可算無限な場合のみを扱う。グラフの辺重みが正再帰的なマルコフ連鎖とみなせる場合にLin--Lu--Yau型のリッチ曲率を導入した。Chungによる有向グラフ上のラプラシアンを用いて、WojciechowskiとWeberによる無向グラフ上の熱核の性質とMunch--Wojciechowskiによる無向グラフにおける幾何解析的な性質が局所有限な有向グラフで同じく成り立つかを調べた。現時点では熱核の存在、リッチ曲率のラプラシアンと離散勾配を用いた表示、リッチ曲率の下限の熱半群を用いた特徴付け、グラフの直積のリッチ曲率の公式が得られた。具体例として反射壁をもつような1次元ランダムウォークのリッチ曲率の計算も行なった。また辺重み正再帰性の条件を緩めた場合にもリッチ曲率を導入することはできており、曲率の下限条件から熱核の確率完備性が得られるのではないかと考え目下研究を続けている。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

本年度は論文執筆までは至らなかったためこの区分とした。

今後の研究の推進方策

局所有限な有向グラフのLin--Lu--Yau型リッチ曲率に関わる幾何解析的な性質について調べる。特に無限グラフ特有の性質を得ることを目標としたい。またψ型曲率次元条件に対してポアンカレの不等式が成り立つのかなども調べるつもりである。