測度距離空間およびピラミッドの幾何学

• 研究課題/領域番号: 23K03104
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分11020:幾何学関連
• 研究機関: 東北大学
• 研究代表者: 横田 巧 東北大学, 理学研究科, 准教授 (70583855)
• 研究期間 (年度): 2023-04-01 – 2028-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円); 2027年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円); 2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
• キーワード: 測度距離空間 / ピラミッド

研究開始時の研究の概要

本研究では測度距離空間および、ある条件を満たす測度距離空間（の同型類）の集合であり測度距離空間（の同型類）全体の空間のコンパクト化の元であるピラミッドの幾何学に関する研究を行う。特に、測度距離空間の列の集中、つまり測度距離空間の間に定義されるオブザーバブル距離に関する収束や、ピラミッドの列の収束について研究する。具体的には、測度距離空間の集中列に対するリーマン的曲率次元条件（RCD条件）の安定性の別証明や、ピラミッドを代表する測度距離空間の一般化である空間を用いたピラミッドの研究などを行う。

研究実績の概要

2023年度は、ボレル確率測度を持つ完備可分距離空間である測度距離空間 (metric measure space、mm空間) の幾何学、特に Gromov ('99) が測度距離空間の同型類全体の集合に導入したボックス距離とリプシッツ順序および測度距離空間の同型類からなる集合であるピラミッドと呼ばれる集合の幾何学に関する研究を行った。特にピラミッドの列の収束について考えたが、特に成果は得られなかった。
ピラミッドの幾何学とも関連して以前行っていた測度距離空間のリプシッツ順序に関する増大列の射影極限である空間に関する研究を進め、論文として投稿する準備を進めた。そのような射影極限は測度距離空間とは限らないが、Ambrpsio-Gigli-Savare ('14) が導入した Polish extended measure space と呼ばれる測度距離空間のある種の一般化である空間であり、ピラミッドとの関係も期待される。Polish extended measure space に対しては最適輸送理論に由来するエントロピー汎関数の凸性により与えられる曲率次元条件も定義されており、それによりピラミッドに対しても曲率次元条件などが定義でき、ピラミッドの幾何学への応用などが考えられる。
また、田代賢志郎氏を学術研究員して10月から雇用し、ハイゼンベルグ群が満たす曲率次元条件など、田代氏の専門であるサブリーマン幾何学などについて定期的に議論を行った。

現在までの達成度 (区分)

3: やや遅れている

理由

研究を計画通りに進められなかったため。

今後の研究の推進方策

研究を計画通りに進める。