| 研究課題/領域番号 |
23K03117
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
與倉 昭治 鹿児島大学, 理工学域理学系, 名誉教授 (60182680)
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| 研究分担者 |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
2025年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2024年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2023年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | cobordism / algebraic cobordism / bivariant theory / rational homotopy theory / stratification |
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| 研究開始時の研究の概要 |
対象ではなく, 射に関する代数的及び位相幾何的研究である。Fulton-MacPhersonの双変理論 B(f:X -> Y)は射 f に対して定義される理論で, B(X ->pt)は共変関手, B(id_X: X ->X)は反変関手となるような, 共変関手と反変関手を統一した理論である. 本研究は, コボルディズム群 Ω(X)のFulton-MacPherson的双変理論と作用素論での双変K-理論的双変理論の構成、並びに関連する話題、更に自然なposet-stratified space の構造をもつ射空間hom_C(X,Y)および関連する話題などについて、位相幾何的総合研究を行う.
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| 研究実績の概要 |
１）代表者はLevine-Morelのalgebraic cobordism(Springer Monogr. Math., 2007)の双変理論を構成する目的で普遍双変理論(Internat.J.Math.,2009)及び類似版（Internat.J.Math.,2019)を構成したが、Toni Annala氏(British Columbia大学）は導来スキーム理論及び代表者の普遍双変理論を用いて、代表氏が目指していた「普遍双変理論の商」として得られるであろう「algebraic cobordismの双変理論」の構成に成功した(J.Alg.Geom., 2021)。これと類似の方法で、Lee-Pandharipand のベクトル束付きalgebraic cobordism (J. Eur. Math. Soc., 2012) の双変理論を、Annala氏との共同研究で構成した。また、K理論の類似の双変理論であるKK-理論のcorrespondenceによる構成（H. Emerson and R. Meyer, Adv. Math., 2010）をヒントに、代表者はcorrespondenceを用いてalgebraic cobordismの双変理論に類似した理論(bi-variant algebraic cobordism)を構成した。
２）Fulton-MacPhersonのoperational bivariant theory（作用素論的双変理論）の双対版とも言えるco-operational bivariant theory を構成した。この理論はcohomology作用素を一般化したものが構成要素となっている。
３）「射空間のトポロジーとその周辺の位相幾何学的研究」に関しては、有理ホモトピー論で知られているHilali予想は空間に対する有理ホモロジーと有理ホモトピーの次元に関する、ある不等式の予想であるが、代表者と山口俊博氏（高知大学）はこの予想を写像（射）に対するHilali予想に一般化した（2018）。この予想はkernelを用いた予想であるが、本研究ではcokernelを用いた予想をも導入し、これら二つの予想間の関係及び関連する結果などを纏めた。
４）Handbook of Geometry and Topology of Singularities (Springer Verlag)の編集委員からの依頼を受けて執筆した「Motivic Hirzebruch classes and related topics」（約100頁）はVol. IVに掲載された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
cohomology作用素の理論はこれまで個別に研究されていたが、cohomology作用素を一般化する形で、co-operational bivariant theory（双対作用素論的双変理論）を構成することができたことは、cohomology作用素の理論の研究の観点からは、興味深いことではないかと思うとともに、また新たな発見があるのではないかと期待される。よって、さらなる双変理論の研究などを現在進めている。
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| 今後の研究の推進方策 |
cohomology 作用素とco-operational bivariant theory（双対作用素論的双変理論）の関連をさらに考察する。「射空間のトポロジーとその周辺の位相幾何学的研究」に関しては、写像（射）に対するHilali予想の研究との関連で、代数多様体に関するHilali予想や、代数幾何、微分幾何、表現論、特異点論など色々な数学分野で研究対象となっているstratification, stratified spaces, poset-stratified space等に関することについても考察するつもりである。
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