非線形問題解明に向けたポテンシャル論研究

• 研究課題/領域番号: 23K03149
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 審査区分: 小区分12010:基礎解析学関連
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 平田 賢太郎 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 准教授 (30399795)
• 研究期間 (年度): 2023-04-01 – 2027-03-31
• 研究課題ステータス: 交付 (2023年度)
• 配分額: 4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円); 2026年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円); 2025年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2024年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円); 2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
• キーワード: ポテンシャル解析 / 半線形楕円型方程式 / 境界挙動 / ポテンシャル論 / 準線形楕円型方程式

研究開始時の研究の概要

滑らかな領域に限らずフラクタル的境界をもつ複雑領域において，劣線形項をもつ定常Schrodinger方程式及び負冪の非線形項をもつLane-Emden方程式（系）のゼロDirichlet境界値問題の正値解の存在・非存在・一意性・境界挙動の解明を試みる．これらの方程式の正値解に対する境界付近での評価であるCarleson評価や境界Harnack原理の考察から始め，より一般に，解の冪乗や勾配の冪乗を含む非線形項をもつ準線形楕円型方程式の正値解に対する先験的一様評価や先験的増大評価が成立するための同値条件を探り，ポテンシャル論の観点から様々な問題の提起と解決を図る.

研究実績の概要

2008年（滑らかな領域の場合）と2010年（滑らかでない領域の場合）の論文において，優線形劣臨界（冪が1より大きく或る数より小さい場合）な非線形項をもつLaplace作用素に関する半線形楕円型方程式の任意の正値解に対する境界増大評価を与え，それを応用して2021年の論文では，境界の一部で0となる正値解に対して境界Harnack原理（２つの正値解の比に対する評価）を確立し，境界に孤立特異点をもつ正値解の存在や漸近挙動および特異点の除去可能性を明らかにした．さらに，その議論を拡張し，Schrodinger作用素の場合にも同様のことが成り立つことがわかった．
今年度は，「劣線形」の場合を考察した．つまり，冪が正かつ1未満である非線形項をもつSchrodinger作用素に関する半線形楕円型方程式の正値解に対して境界Harnack原理が成り立つことを証明し，0-Dirichlet境界値問題の任意の正値解に対する両側評価を与え，解の一意性を明らかにした．解の存在は従来の逐次近似法で示すことができる．劣線形の場合，境界増大評価（上からの評価）ではなく，境界減少評価（下からの評価）を示すことで，先行研究で開発した反復議論を適用して境界Harnack原理を証明することが可能になった．Laplace作用素の場合，両側評価があると解の一意性は反復議論などで容易に示すことができるが，Schrodinger作用素の場合には適用できない．両側評価と1994年の相川氏の優調和関数の可積分性の結果により，方程式のテスト関数として解を用いることが可能になり，解の一意性を証明することに成功した．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

最終目標はより一般のフラクタル境界をもつ領域上での研究であるが，Lipschitz領域において劣線形な非線形項をもつSchrodinger作用素に関する半線形楕円型方程式の正値解に対して様々な性質を導出することができたため，順調に進展しているといえる．

今後の研究の推進方策

この20年において，劣線形楕円型方程式の研究が盛んに行われ，近年では局所コンパクトHausdorff空間上の積分方程式の理論へと展開している．関連論文の精読と海外研究者との交流を行いつつ，当初研究に拘らず研究の進展に努める．