| 研究課題/領域番号 |
23K03161
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 秋田大学 |
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研究代表者 |
原田 潤一 秋田大学, 教育文化学部, 准教授 (00580169)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2026年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2025年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2024年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
2023年度: 390千円 (直接経費: 300千円、間接経費: 90千円)
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| キーワード | 非線形熱方程式 / 解の爆発問題 / デルタ関数型の特異点 / 爆発解の分類 / 複素数熱方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非線形熱方程式の爆発問題を通して、個々の偏微分方程式が持つ解構造の大域的性質を理解することが本課題の大きな目的である。そのために非線形偏微分方程式に現れるデルタ関数型特異点を有する爆発解の仕組みを理解することは重要である。それはデルタ関数型の爆発解が方程式の解全体からなる集合の中で特別な位置を占めるからである。非線形熱方程式の爆発問題はこの十年で大きな進展があり、デルタ関数を伴う爆発解について単純なものであれば観測ができるようになった。本課題では、つぎの段階としてより複雑な形状を持つ爆発解の存在について探求する。本課題は従来型の爆発解の分類定理において重要な例を提示することになる。
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| 研究実績の概要 |
臨界型偏微分方程式では、質量やエネルギーなどの集中現象が起こる。この集中現象は、熱方程式、波動方程式やシュレディンガー方程式など様々な型の方程式で観測される（予想される）。集中現象はそのバリエーションが多く、現象そのものが面白い。その機構を理解することが本研究の目的である。また集中現象を起こす爆発解は、方程式の解全体からなる集合の中で特別な位置を占めることが知られており、方程式の大域的ダイナミクスの決定において重要な役割を担っている。コロット・メルル・ラファエル先生（２０１７年）は、非線形熱方程式の集中現象について、空間７次元以上の場合に分類定理を証明している。彼らの結果は、空間高次元の方が、現象が単純化されるということを示唆するものである（本当はそうではない）。今年度の成果はその空間６次元版に相当するものである。空間６次元と７次元の間に境目があることは以前から予想されていたが、それを明らかにすることができた。方程式の性質から、空間次元が低いほど注目する定常解の空間減衰が悪くなるため、それに起因して、空間７次元以上の場合と比べ、余計な仮定が必要になった。しかし、解空間全体の大域的な情報を引き出すためにはこれでも十分であると考える。熱方程式の空間６次元は、状況が特殊であることがこれまでの蓄積で示唆されていたが、分類という視点では、空間７次元以上に類似していることがわかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計画では、多重爆発問題の調査を予定していたが、まだその前段階である。前段階として、「研究実績の概要」に述べた内容に取り組んだ。臨界型方程式では、解の空間減衰が方程式のダイナミクスの決定において重要な役割という法則をみつけた。この法則は、多重爆発問題の解析に活かせるのではないかと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
空間６次元非線形熱方程式の分類問題について、昨年度までの結果では、解の球対称性という強い適用条件を課していたため、これを外すことから始めてる。これと並行して、タイプＩ型爆発の解の安定性解析についても、同様に球対称性の仮定を外す手法を模索する。両問題とも類似した点があるため、片方ができればもう片方も同時に解決すると思われる。
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