| 研究課題/領域番号 |
23K03167
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
内藤 雄基 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 教授 (10231458)
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| 研究分担者 |
橋詰 雅斗 大阪大学, 大学院基礎工学研究科, 助教 (20836712)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,420千円 (直接経費: 3,400千円、間接経費: 1,020千円)
2025年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2024年度: 1,560千円 (直接経費: 1,200千円、間接経費: 360千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 非線形偏微分方程式 / 楕円型偏微分方程式 / 特異解 / Sobolev 臨界 / 臨界指数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非線形楕円型方程式の古典解全体の構造を解明することは重要な問題であり，その考察において特異解の性質が重要な働きをすることが知られている。また，非線形拡散方程式の解の定性的研究においては，その定常問題である非線形楕円型方程式の解構造が大きな影響を及ぼす。本研究では，非線形楕円型方程式に対して，特異解を考察することにより，その解構造を解明するとともに対応する拡散方程式の解への影響を考察する。とくにSobolev劣臨界の問題に加え，非線形性の効果が強いとされるSobolev優臨界およびSobolev臨界の問題に対して重点的に取り組む。
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| 研究実績の概要 |
本研究では、非線形楕円型方程式に対して，その解構造を解明するとともに，非線形拡散方程式の解への影響を考察する。とくに Sobolev 優臨界および Sobolev 臨界における非線形楕円型方程式の解構造における特異解の役割を明らかにするとともに非線形拡散方程式における定常問題の解構造が及ぼす影響を考察する。
今年度は，非線形放物型偏微分方程式の前方自己相似解および後方自己相似解の形状関数に起因する楕円型偏微分方程式の特異解について考察を行った。楕円型偏微分方程式に表れる重み関数とともに線形項を一般化した方程式を考え、その特異解の存在と一意性および多重存在を優 Sobolev 臨界・Sobolev 臨界・劣 Sobolev 臨界の場合について考察を行った。優 Sobolev 臨界の場合には，特異解が高々一意であること，重み関数と線形項が，ある関係を満たすときに特異解が存在することを示すことができた。一方、Sobolev 臨界の場合には，ある特異解との交点数が無限個の特異解は，その特異解に限定されるという Liouville 型の結果を得ることができた。さらに，劣 Sobolev 臨界の場合には，特異解が無限個存在すること，それらの特異解は，同一の漸近的性質をもつことを示すことができた。
また，1次元 p(t) Laplace 方程式の正値解の漸近的性質について考察を行った。ここでは，主要微分項であるp(t) Laplacian が 1-Laplacian に漸近する場合を考えた。この場合には，extremal sokution と呼ばれる，無限大に発散する解が存在する可能性が示唆されている。本研究では，この extremal solution が存在するための必要条件，十分条件をそれぞれ調べるとともに，extremal solution の漸近的挙動を考察した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
自己相似解の形状関数が満たす非線形楕円型偏微分方程式に対して，優 Sobolev 臨界・Sobolev 臨界・劣 Sobolev 臨界の場合について考察を行った。その特異解の存在と一意性および多重存在、漸近的性質を調べることができた。また、1次元p(t) Laplace 方程式の正値解の漸近的性質に関する研究に着手できた。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き非線形楕円型偏微分方程式の特異解の定性的性質を明らかにするとともに、関連する放物型偏微分方程式、走化性非線形系に対しても研究を進めたい。
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