| 研究開始時の研究の概要 |
非線形楕円型作用素、特に p-Laplace 作用素 の非線形固有値問題に関連した微分方程式について研究する。研究期間全体を通して、二つの非線形楕円型作用素からなる (p,q)-Laplacian の非線形固有値問題への貢献を念頭に置きながら、単独の p-Laplacian の非線形固有値に関係する微分方程式について解析を行う。以下は大まかな本研究の内容である。
１．p-Lplace 方程式の解の符号（正値、負値、符号変化）に関する研究(最大値原理、反最大値原理、Dead Core)
２．色々な制約条件下での変分的なエネルギー最小解の特徴付け(多重性, 符号変化解)
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| 研究実績の概要 |
変分法的な手法の中に、汎関数が偶関数の場合に genus を用いた Minimax定理により多重解の存在を示す方法がよく知られている. とくに, 汎関数が強圧的で下に有界な場合には、この方法を適用することが容易である. パラーメータを二つ持つ固有値問題に関連した(p,q)-Laplace 方程式の場合において, 対応する汎関数が下に有界でない場合にも適用できるように上手くMinimax 定理の改良を行い多重解の存在を示すパラメータの範囲を拡張することができた. また, Nehari 多様体上でも上手く genus を用いた Minimax 定理の適用を行い, 汎関数のエネルギーが正であるような多重解の存在を示すことに成功した.
Lyapunov 不等式は元々は常微分方程式に対して考えられていたが、最近では偏微分方程式、とくに p-Laplace 方程式に対しても研究が行われてきている. この Lapunov 不等式は固有値や解の非存在にも関連している. そこで(p,q)-Laplace 方程式に対するLyapunov 不等式の導出を初めて行った.
p-Laplacian の固有値は一般には未解決な部分が多く, 第一や第二固有値を除くと知られている結果も極端に少なく、解析が困難である. そこで、一次元の場合に帰着できて解析を行いやすい球や円環領域の場合の球対称な p-Laplacian の第k固有値の解析を行った. 具体的には, 球対称な第k固有値をよく知られている第一固有値を用いて変分的な特徴づけを行った. これにより, 第k固有値の解析は第一固有値の解析に帰着させることができ, pが１や∞に近づいたときの挙動や, pが動いたときの固有値の単調性または非単調性について解析を行うことに成功した.
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