| 研究課題/領域番号 |
23K03171
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
齋藤 洋樹 日本大学, 理工学部, 准教授 (20736631)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2026年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2025年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | Hausdorff容量 / Choquet空間 / 等周不等式 / Rieszポテンシャル / 分数冪Sobolev空間 / 荷重 / Besov空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
調和解析・実解析，ポテンシャル論の研究において, Sobolev空間，Hausdorff容量や荷重理論は, 偏微分方程式などへの応用を持つ重要なテーマである．応募者はこれまでの研究で，荷重付Hausdorff容量の性質を調べ，Choquet空間の双対空間を決定し，荷重付Besov空間の埋込型不等式を示してきた．本研究ではこれらを応用して，分数冪Sobolev空間の荷重理論を構築し，この空間の基本性質(稠密な部分空間の決定など)を調べる．このことににより，分数冪Laplace方程式の解の表現定理と等周不等式，特にboxing不等式を荷重付き不等式へ拡張することを試みる．
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| 研究実績の概要 |
本研究は荷重付分数冪Sobolev空間の性質を荷重付Hausdorff容量を用いて調べることにより，偏微分方程式と等周不等式へ応用することが目的である．令和5年度における研究により以下の2つの成果を得た．
(1) 調和解析の研究において，関数fの特異積分を制御するために，2進立方体からfに応じて適切に選択して積分平均を制御するスパース作用素が重要な役割を果たす．本研究で用いられるRieszポテンシャルの研究にも強力に働くものであるが，近年海外の研究者によってHausdorff容量によるChoquet空間上で有界とならないことが反例とともに示された．そこで，本研究でスパース作用素がChoquet空間の関数をどのような空間に作用するのか精査したところ，Hausdorff容量によるOrlicz-Morrey空間と呼ぶべき空間で特徴付けられることがわかった．この結果はすでに論文として現在投稿中である．
(2) Sobolevの埋込定理は様々な見方ができるが，そのひとつとして「関数のノルムを微分のノルムで評価する不等式」と考えられる．評価されるノルムのLebesgue測度を一般のRadon測度にしたものはトレース不等式と呼ばれる．Schrodinger方程式と関連するこの不等式は，Maz'yaによって微分の階数が一般化され，その特徴付けにはHausdorff容量が用いられる．本研究によって，右辺のノルム(評価する方のノルム)を分数冪Sobolevノルムとする不等式を得ることができた．これはPonce-Spectorが得た分数冪boxing不等式の帰結であるが，現在この研究をさらに推し進め，分数冪に一般化された等周不等式の特徴付け(Xiaoによる結果)をさらに拡張することを試みている．この拡張に成功し次第論文として投稿する予定である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
計画の後半に予定していた等周不等式への応用について，[研究実績の概要]の(2)で述べたように，整数指数のトレース型不等式を分数冪指数に拡張できることがわかり，また等周不等式に関する新たな特徴付けを得られる可能性を見出せるなどの進展があった．反対に前半に計画していた荷重付分数冪Sobolev空間の精査は，荷重空間の定式化が得られたところで中断している．しかし研究計画全体で見れば順調に進展している．
また投稿している論文は昨年の10月に投稿したものであり，査読に時間がかかっている．そのため，R5年度の成果で掲載が決定した論文はないものの，研究はおおむね順調に進行している．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画に多少の前後があるが，大きな変更の必要はなく，当初の通り計画を進める.
(1) 分数冪Sobolev空間へ付加する荷重の条件や方法は，自身の研究で得ている斉次Besov空間への荷重付加の方法と同様にできる．まずMuckenhoupt A_p型荷重の条件のもと，荷重付Sobolev空間W_{w}^{a,p}と荷重付斉次Besov空間B_{p,p}^{s,w}が同一視できることを示す．自身の先行研究において荷重付Besov空間への埋込を考察した際はreverse Holderクラスの荷重条件を仮定していたが，ここではその条件を除くことを検討する．
(2) 次に，このSobolev空間を原料にして定義される容量を定義して，荷重付Hausdorff容量との関係を調べる．ここでは，Sobolev容量がn-ap次元のHausdorff容量と同値になることを予想している．この結果は非荷重の場合で確かめられているが，荷重がついた場合は(1)と同様Muckenhoupt A_pクラスの荷重条件を仮定する必要があると予想している．
(3) 最後に，R6年度までの研究によって，Sobolev容量の定義における下限を実現する(attainする)関数の存在を変分法の手法によって示す．これは既存の方法と同様にできるものと考えられる．
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