| 研究課題/領域番号 |
23K03186
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 琉球大学 |
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研究代表者 |
千原 浩之 琉球大学, 教育学部, 教授 (70273068)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,810千円 (直接経費: 3,700千円、間接経費: 1,110千円)
2025年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
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| キーワード | フーリエ積分作用素 / 超局所解析 / Bolker 条件 / 波面集合 / 測地線X線変換 / 線質硬化 / artifact / トモグラフィー / X線変換 / ラドン変換 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究は外部の観測データだけを用いて直接見ることはできない内部を間接的に再生して見ることに関連する数学的基盤を構築することと関連する。医療機器のCTスキャナーやMRI, 空港等における保安検査、種々の音響トモグラフィー(音波の反射波から対象を再構成する手法)、非視線方向イメージング (NLoS imaging) などの理論的基盤になる。ここで言う情報やデータの主要部分は関数の特異性であり、超局所解析とよばれる数学を基盤に関数の特異性を詳細に見ることを通じて何らかの知見を得るという研究活動を行う。
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| 研究実績の概要 |
本研究は積分幾何学に現れる積分変換のようなフーリエ積分作用素の超局所解析を行って、数学あるいは応用数学の課題を考察する。
2024年度は査読付き英文原著論文の出版はなかったが、2024年度終了時点でプレプリント3件を投稿中である。リーマン多様体上の測地線X線変換について、人体内の金属部分のような異物がある場合を考察し、steaking artifacts が起こることを証明した論文[1]の査読結果が2025年1月に戻ってきて、修正後に再投稿した。次に向きづけられた一般の2つの多様体の直積の向きづけられたある種の部分多様体が定義する double fibration transform について、共役点がなければ正規作用素が楕円形擬微分作用素になるが、そうでないときは正規作用素は楕円形擬微分作用素といくつかのフーリエ積分作用素の和に分解されることを証明した。double fibration transform は究極の一般化でX線変換やRadon変換やローレンツ多様体の零倍特性方程式の解曲線に沿う積分変換の light ray transform などの積分変換を統一的に扱うことができる抽象化による一般化である。また、n次元ユークリッド空間におけるd平面変換の正規作用素の主表象はフーリエ積分作用素の一般論により d(n-d-1)-次元の積分で与えられるはずであるが、実際にその積分が何なのかを具体的に求めた。
2024年2月に Jesse Railo (LUT University, Finland) から共同研究の提案がありポスドクの Shubham Jathar も交えて3人で Zoom で定期的に議論をしている。現在 double fibration transform の解析的超局所解析について共同研究が進行中である。
[1]について3つの国際研究集会にて一般講演を行った。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
論文の投稿数および国際研究集会での講演数がそれなりにあって比較的順調であろ。
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| 今後の研究の推進方策 |
いくつかの具体的課題があり取り組む準備をすすめている。例えば、3次元以上のn次元空間での測地線X線変換では正規測地線の空間の次元は 2n-2 で e=n-2 次元分は過剰決定になっている。そこで 2n-2 次元空間内のn次元部分多様体に変換(CTスキャナーの観測データ)を制限して再生公式を得るための部分多様体がみたすべき必要十分条件を考察したい。一気に必要十分条件を目指すのは難しいが具体例の考察は可能である。n=3の場合に現実の第4世代CTスキャナーのX線源が螺旋を動くときのX線源が2次元的に広がっている場合の再生公式が2002年に Katsevich によって確立されている。n=3でX線源が球面のような2次元空間を動きX線の広がりが1次元である場合の再生可能性について考察するのは次の課題である。これには double fibration transform の学習で習得したものの見方を用いる。
一方、Isozaki-Kurylev による漸近的ユークリッド空間や漸近的双曲空間上の逆散乱理論ではスペクトル理論によるRadon変換が導入されて強力な威力を発揮している。この導入にはユークリッド空間上の場合のフーリエ・スライス定理に相当するものが使われているが、その意味でこのRadon変換の像は測地線で定義される超平面を特異台とする conormal distribution に見える。そこで、この変換像は conormal distribution なのか、そうならば表象を具体的に求めて、測地線による積分変換のRadonと同じなのか異なるのか、異なっても主表象は同じなのかを調べたい。
本研究が属する分野は日本国では完全に無名なので日本国外での講演や情報収集が必要である。現時点では2025年6月にシンガポール、2025年7月にリオデジャネイロに出張することが確定している
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