| 研究課題/領域番号 |
23K03195
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| 研究種目 |
基盤研究(C)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12030:数学基礎関連
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| 研究機関 | 横浜国立大学 |
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研究代表者 |
小関 健太 横浜国立大学, 大学院環境情報研究院, 准教授 (10649122)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2026年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2025年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 彩色 / 平面グラフ / coloring of graph / topological graph theory |
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| 研究開始時の研究の概要 |
四色定理に代表される，曲面上のグラフの彩色に関して，近年，代数的トポロジーを利用した手法や，グラフの向き付けや閉路構造等を利用した彩色の手法も大きく進展している．
曲面上のグラフは多面体の1-スケルトンとみなすこともできる．そこで対象を高次元へと拡張し，高次元の超多面体の1-スケルトンとして定義できるグラフ(超多面体グラフ) の彩色が自然に考えられる．そこで，曲面上のグラフやその他のグラフで成功した手法を高次元へ拡張することで，超多面体グラフの彩色性を議論する手法を確立することを目指す．
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| 研究実績の概要 |
「曲面上のグラフやその他のグラフで成功した手法を高次元へ拡張することで，高次元の超多面体の1-スケルトンとして定義できるグラフ(超多面体グラフ) の彩色の手法」を目指すという研究目的の達成のため，まず，グラフの彩色について見直した．特に平面グラフの彩色の手法を改良し，「A Note on 3-Distance Coloring of Planar Graphs」という論文で，平面3-正則グラフにおいて，距離が3以下の頂点対は異なる色となるような彩色を与えている．距離が 2以下の頂点対を異なる色で塗るという条件の彩色については，これまでにもいくつかの研究が知られていたが，本研究ではそれらを拡張したものであるといえる．これにより，平面性を利用した彩色の方法への知見が広がったと考えている．
また，頂点彩色とともに重要な研究対象である，辺彩色に関しても研究を行った．通常の辺彩色を拡張した H-彩色という概念が知られており，特に3‐正則グラフにおいて，閉路2重被覆予想や流れ予想との関連から，ぺテルセングラフなどの特別なグラフ H に対しての H-彩色が多く研究されている．一方で，3-正則以外のグラフでは，どのような現象が起こるのか研究が進んていなかった．そのため，「H-colorings for 4-regular graphs」という論文では，3-正則グラフの次にステップとして，4-正則グラフにおける H-彩色について，どのようなグラフ H を考えるべきか，その H に対する H-彩色によって，どのような現象がみられるかなど，今後の研究へとつながる基本的な性質を導いた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
2023年度は，上で述べたように，グラフの彩色に関しての基礎となる研究を行った．これらの成果によって，研究目的である「超多面体グラフの彩色の手法」の足がかりが得られたので，順調に進展しているといえる．一方で，超多面体グラフを直接扱うことはなかったため，計画以上の進展とはいえない．
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| 今後の研究の推進方策 |
2023年度は，グラフの彩色に関しての基礎となる研究を行ったが，研究の過程で，グラフの彩色それ自体の難しさが当初予期していた以上に表れており，この点の研究が今後も必要となる．そのため，2024年度も引き続き，グラフの彩色の基礎となる性質をまず調査する．また，超多面体グラフの性質に迫るため，これまでで得られた知見をもとに幾何的な性質に重きを置いた彩色を考察し，可能ならば，その高次元を対象とした研究を進めたいと考えている．
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