| 研究課題/領域番号 |
23K12952
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
仲里 渓 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 博士研究員 (90973579)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2024-03-31
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| 研究課題ステータス |
中途終了 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2025年度: 260千円 (直接経費: 200千円、間接経費: 60千円)
2024年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
2023年度: 520千円 (直接経費: 400千円、間接経費: 120千円)
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| キーワード | Frobenius射 / パーフェクトイド / Kunzの定理 / ネーター環 / 非アルキメデス的解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
混標数の対象と正標数の対象をつなぐパーフェクトイド理論をネーター環論の枠組みで扱えるようにするため、パーフェクトイド環を構成する際に生じる拡大列を公理化した「パーフェクトイド塔」の性質を調べる。特に混標数側の塔から正標数側の塔へ移行する操作である「傾化」での有限階層の振る舞いに焦点を当て、傾化の逆の操作の構成法も追求する。応用としては正標数の特異点論における諸結果を混標数側に翻訳することを目指している。
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| 研究実績の概要 |
パーフェクトイド塔の例として現れる対数的正則局所環の拡大がFrobenius持ち上げから生じていることに注目し、プリズムの理論の枠内でこれがどのような意味を持つかを調べた。正標数の場合にはこの拡大はFrobenius写像そのものと同型になることから、それの平坦性により正則性を特徴づける「Kunzの定理」の混標数版も並行して模索した。その定式化に当たっては、一般には完備ネーター局所環がFrobenius持ち上げをもたずプリズム由来とも限らないことから付随する然るべきprismatic complexへのFrobenius作用を見ることにした。Prismatic complexは相対的な概念であるため、まずCohenの構造定理を用いて底となるプリズムの標準的な構成を与えた。対応するδ環は正則局所環のみならずそれをδ-安定なイデアルで割ることも許容し、対数的正則局所環を底のプリズムとしてとることができるようにした。これにより冒頭で述べた対数的正則局所環の拡大はprismatic complex（正確にはHodge-Tate complex）へのFrobenius作用とみなすことができる。Kunzの定理の混標数類似については、研究協力者である石塚伶氏（東京工業大学）の決定的な貢献のもとprismaic complexの連結成分へのFrobenius作用の忠実平坦性で正則性が特徴づけられることがわかった。局所完全交叉の場合にはprismatic complexそのものへのFrobenius作用で特徴づけることもできる。初年度途中での事業廃止により抽象論に終始してしまったが、今後は重複度の研究に応用していきたいと考えている。
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