| 研究課題/領域番号 |
23K12953
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 愛知教育大学 |
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研究代表者 |
渡邊 悠太 愛知教育大学, 教育学部, 講師 (10824964)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2025年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 1,820千円 (直接経費: 1,400千円、間接経費: 420千円)
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| キーワード | アソシエーションスキーム / Terwilliger代数 / 量子代数 / 有限射影幾何 / シュバレー群 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
有限射影幾何は、実験計画法で有用な組合せデザイン・直交配列の構成や、情報理論における誤り訂正符号などに活用されている。研究代表者のこれまでの研究で、有限射影幾何の量子アファイン代数の表現論を用いた研究手法を新たに提案し、GrassmannグラフのTerwilliger代数の構造決定や、Grassmann多様体のSchubert胞体の新しい特徴付けなどの結果を得ている。本研究は、この理論体系を旗多様体や距離正則グラフのレベルに拡張しようとするものである。
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| 研究実績の概要 |
研究代表者のこれまでの研究で、有限射影幾何の量子アファイン代数の表現論を用いた研究手法を新たに提案し、Grassmann多様体の良い部分構造であるSchubert胞体を、組合せ論で有用なアソシエーションスキームの枠組みで特徴付けるなどの結果を得ている。この証明の核心的な部分を、Grassmann多様体よりもさらに抽象的な枠組みである旗多様体のレベルに拡張しようとする議論を行っている。この特徴付けにおいて登場した「アソシエーションスキームの一般化リース積」と呼ばれるアソシエーションスキームのクラスについてTerwilliger代数の構造決定を行った。Grassmann多様体のSchubert胞体の代数構造には一般化リース積の一部しか出てこないことに加えて、大部分のSchubert胞体では一般化リース積として捉えることができないことがわかっている。当初はGrassmann多様体のSchubert胞体の代数構造として現れるもののみについて証明を試みていたが、すべての一般化リース積についてTerwilliger代数の決定もできる見込みが立ったので、それについて研究を進めた。結果的にTerwilliger代数の構造は原始冪等基底とその双対基底を用いて完全に決定されることが分かった。この結果は10th Slovenian conference on graph theory(2023/6, Slovenia)にて発表し、現在論文を執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
アソシエーションスキームの一般化リース積のTerwilliger代数の構造は完全に決定することができた。論文は執筆中であるが、次年度中に投稿まで持っていける予定である。一方で、一般的な旗多様体への拡張する道筋は立っておらず、次年度も引き続き模索していく。
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| 今後の研究の推進方策 |
Grassmann schemeをはじめとして、Hamming schemeなどのアソシエーションスキームのTerwilliger代数にはリー代数sl2の構造が含まれている。この点に着目し、一般化として、slnの構造が登場するアソシエーションスキームのクラスを考えていく。具体的にはordered Hamming schemeにはslnの構造が入ることが予想されており、その決定を行いたいと考えている。
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