| 研究課題/領域番号 |
23K12958
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京電機大学 |
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研究代表者 |
柴田 康介 東京電機大学, 工学部, 助教 (60819671)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 特異点 / 代数幾何学 / 双有理幾何学 / 弧空間 / 極小対数的食い違い係数 / 商特異点 / PIA予想 / LSC予想 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
極小対数的食い違い係数は双有理幾何学の特異点としての良さを測る代数幾何学の不変量である。この不変量の重要な予想である下半連続性予想と昇鎖律予想が解けると極小モデル理論の最も重要な予想が解けることが分かっている。
本研究では、まずは特異点の孤空間を調べることにより極小対数的食い違い係数の性質を研究し、特に超商特異点の場合に下半連続性予想と昇鎖律予想について研究する。さらに一般の群の作用している特異点に対して、この研究方法の一般化を目指す。
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| 研究実績の概要 |
極小対数的食い違い係数は双有理幾何学の特異点を研究する際に重要な不変量である。今まで私は、この不変量について弧空間を利用して研究をしてきた。これまでの私の研究では商特異点の中で不変な元で定義される特異点について弧空間を調べることで、極小対数的食い違い係数の重要な予想である下半連続性予想やPIA予想を対数的端末特異点の場合に示すことができていた。
今年度は半不変である元で定義される完全交叉特異点を群の作用による商で定義される特異点に対して、これまで示してきた結果を一般化するために研究をした。この特異点は商特異点の中で不変な元で定義される特異点よりも広いクラスの特異点であり、特に３次元の端末特異点を全て含む特異点であることは知られている。今年度の研究により、この特異点に対しても、対数的端末特異点である場合に、PIA予想と下半連続性予想を示すことができた。これらの研究結果は論文としてまとめ、ジャーナルに投稿中である。
また対数的標準特異点の場合にPIA予想が成り立つことを示すために研究をしていたところPIA予想の反例になる特異点を発見した。今までの研究では対数的標準特異点の場合に弧空間が対数的端末特異点の場合には起こらない現象が起きるためPIA予想の証明ができていなかった。そこでこの現象を理解するために、このような現象が起こる例を多く作り調べたところ極小対数的食い違い係数を弧空間を使い計算をする際に、対数的端末特異点では起こらないことが起きる例を見つけることができ。その例がPIA予想の反例になっていることが分かった。またこの反例を使いfamilyの場合の下半連続性予想は成り立たない例を作ることができた。この結果をまとめ論文に書いている状況である。
これらの研究は中村勇哉氏との共同研究である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
これまでの行っていた研究結果を、さらに広い特異点クラスに一般化することができたことと、さらに成り立つと思われていたPIA予想について、対数的標準特異点の場合に反例を見つけることができたため。
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| 今後の研究の推進方策 |
PIA予想の反例の発見には、対数的端末特異点の場合には起こらないが、対数的標準特異点の場合に起こる弧空間の現象を調べていることがきっかけであった。
この現象についてさらに詳しく調べることで対数的標準特異点の場合のLSC予想について研究をしたい。
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