| 研究課題/領域番号 |
23K12969
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | お茶の水女子大学 |
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研究代表者 |
植木 潤 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 講師 (90780081)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2026年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2025年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
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| キーワード | 岩澤不変量 / p進トーション / 多変数Alexander多項式 / 副有限剛性 / チェボタレフ絡み目 / 表現 / 単数と曲面 / 数論的位相幾何学 / 岩澤理論 / 円単数 / 3次元多様体上のフローの軌道族 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
素数と結び目, 代数体と3次元多様体の深い類似性は, Gaussの時代から重要な役割を果たしてきたと考えられる. 「数論的位相幾何学」の目的は, この類似性を体系化することで, 様々な予想や手法を生み出す自然な地平を開拓し, 実際に成果を得ることである. 本研究では,「単数・円単数と類数の関係性」の類似の確立という具体的な目標に向かう過程で, 特に解析数論に意識を向けながら, 様々な開拓を行う. なかでも, 結び目不変量のp進極限の話題と, フローの軌道族についての均一分布定理とを融合させることを目指す. また同時に, 副有限剛性の問題への応用も狙っていく.
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| 研究実績の概要 |
I) 結び目のp進トーションの分布定理に向けた予備調査．不分岐Zp被覆の岩澤型公式の証明．II) 絡み目のZp直積被覆の岩澤型公式の改良．分岐・不分岐被覆の比較．共著論文を雑誌に投稿した．III) 絡み目の多変数Alexander多項式の副有限剛性の定式化，巡回集結式に対するFriedの定理の多変数版の提案．絡み数やCassonLin型不変量の剛性の調査．Liuの結果を拡張すべく幾何群論の深い議論にまで踏み込んだ．IV) チェボタレフ絡み目を備えた3次元多様体上で，遠アーベル幾何学の「ノイキルヒ・内田の定理」の類似を定式化し，鍵となる補題の証明に成功．V) 8の字結び目の補空間における測地結び目同士の絡み数の調査．VI) モジュラー結び目のチェボタレフ性の証明の改良．VII) ねじれホワイトヘッド絡み目のnon-acyclicSL2表現の重複度について，L関数の零点の位数の定義を修正し結果を強化．VIII) 結び目の剰余表現の変形可能性を巡回被覆のホモロジー群の位数から判定できるという奇妙な命題の定式化．IX) グラフの岩澤理論・有限代数的数・幾何群論・副有限剛性・岩澤理論についての情報収集．
招待による国際講演：カナダ・スペイン・ドイツ・京都・九州 重要な海外滞在：イギリス（ケンブリッジ） 査読付き論文受理：i) Twisted Iwasawa invariants of knots, Math. Nachr. ii) A note on units and surfaces (survey), Springer Proc. i) では結び目群のSL2表現の岩澤不変量が種数やファイバー性を決定するという定理を示した．ii)はReznikovの提案していた曲面・単数・円単数に関する指摘について，言葉を補って吟味したものである．他に投稿中が4本, 投稿準備中が2本ある.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
副有限剛性・幾何群論・岩澤理論の国際集会での情報収集が功奏し，新たな共同研究者を得るなどして研究の射程が大きく拡張された．Stickelberger元周りの定式化の試行には至らなかったが，多くの予備調査や副課題が進捗を得た．
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| 今後の研究の推進方策 |
数論トポロジーと副有限剛性問題はいずれも大きな国際的潮流が発生しているので，時機に応じて自分の強みを活かせる振る舞いを心がけ，プレイヤーとしての役割を果たせるようにする．またコミュニティの人々と良好な関係を築きながら，より深い長期的展望を切り拓けるよう努める．
引き続き地道に文献による予備調査・足を使っての情報収集・対面やオンラインでの研究討議・各種集会での講演・論文執筆などを行っていく．
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