| 研究課題/領域番号 |
23K12970
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
高田 土満 新潟大学, 人文社会科学系, 講師 (50911583)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | 非可換幾何学 / ループ空間 / 指数理論 / 位相的Ｋ理論 / 同変指数理論 / 無限次元多様体 / 位相的K理論 / Hilbert多様体のC^*環 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では，非可換幾何的道具立てを用いて，無限次元多様体に対して，同変指数定理を拡張することを目指す．具体的には，Ｗｉｔｔｅｎによる「ループ空間のＳ＾１同変指数理論を用いた剛性定理」の非可換幾何的再構成，正当化を中心的な問題とする．その研究のために，Ｈｉｌｂｅｒｔ多様体のＣ＾＊環に対する微分幾何的な研究や，非局所コンパクト空間の位相的Ｋ理論の性質の研究を進める．それらの結果は指数理論だけでなく，無限次元多様体の研究一般で有用であろう．また，一つの問題を複数の観点から同時に研究することで，それぞれの研究が相互作用し，研究がスムーズに進むことが期待できる．
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| 研究実績の概要 |
これまで，ループ群が作用する無限次元多様体やループ空間の指数理論を研究してきた．昨年度，その成果をプレプリント「An Index Theorem for Loop Spaces」でまとめた．本年度も含めた今後の課題としては，以下のものが挙げられる．(1)この論文で定義した指数の性質の研究（Witten種数の非可換幾何的実現），(2)この論文での解析的指数の定義に現れる非可換幾何的道具立ての研究（ループ空間のＣ＾＊環の研究），(3)この論文の位相的指数の定義に現れる道具立ての研究（非局所コンパクト空間のRKK理論）．(1)に関連して，Wittenの原論文にあるゼータ関数くりこみを，幾何学的にどのように理解したら良いか，(2)に関連して，ループ空間のリーマン幾何的性質はどのようなものか，それがループ空間のＣ＾＊環にどのように反映されるか（特にＳ＾１作用がループ空間のＣ＾＊環に連続に持ち上がるか？ 群作用が関数環に持ち上がるには，空間の局所コンパクト性が効いていた）など，具体的な問題を複数抱えて研究をスタートさせた．
今年度は，上記プレプリントおよびその周辺の内容を題材に，研究集会「第7回幾何学的群論ワークショップ」で発表を行った．そこで，東工大の五味清紀氏に楕円コホモロジーやtopological modular formについて教えていただき，新たな問題意識を得た（上の問題で言うと(1)に該当）．ただし，楕円曲線のモジュライなどの複素幾何・代数幾何的な内容については詳しくないため，詳しく調べる必要が生じた．その第一歩として，大学院でリーマン面についての講義を行うことにし，本年度はその準備を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
ある程度具体的で自然な問題はいくつかあるのだが，いずれも新しい知識や技術を身に着けなければ解けそうになく，取り組みあぐねている状況である．
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| 今後の研究の推進方策 |
研究期間が5年と長いので，研究成果を出すことを焦るよりも，今後必要になる知識や技術を身に着けることに力を入れる．そうしながらも研究計画全体を見渡す視点を忘れず，必要な知識がたまったら取り組みやすい問題にアタックし，研究成果を積み重ねていく．
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