| 研究課題/領域番号 |
23K12972
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
湯淺 亘 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (80824961)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | スケイン関係式 / スケイン代数 / 量子クラスター代数 / 量子タイヒミュラー空間 / クラスター代数 / 量子不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、境界孤を局所化したスケイン代数と量子クラスター代数の包含関係（もしくは一致）を示すことを目標とする。特に、A型とC型の単純リー代数に付随する場合を中心に考える。そして、この対応関係を用いることによって、低次元トポロジーの手法を用いてクラスター代数の問題に取り組んだり、逆に表現論における手法を用いて低次元トポロジーにおける問題の解決を目指す。
また、これらの研究で得られた結果を3次元多様体のスケイン加群の研究に応用して3次元多様体の量子不変量と幾何の関係を明らかにする。
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| 研究実績の概要 |
石橋氏と狩野氏との共同研究で、係数付き量子クラスター代数と壁付き曲面のスケイン代数の対応を明らかにした。またクラスター代数における quasi- homomorphism とスケイン代数における壁の変形に関する結果を得た。そして、これらの結果を論文として執筆した。この結果によって、スケイン理論による係数付きクラスター代数の新しい解釈を与えた。また、lamination では normalized な係数しか扱えないのに対して、壁付きスケイン代数では non-normalized な係数を扱えるという点において、より一般の係数付きクラスター代数に対して図的解釈を与えている。
また、石橋氏との共同研究で例外型リー代数 g_2 において曲面のスケイン代数と量子クラスター代数の対応と、クラスプ付きスケイン代数とステイト付きスケイン代数の対応について、sl_3 や sp_4 の場合と同様の結果をいくつか 得ている。さらに、より一般のクラスのリー代数においてクラスプ付きスケイン代数とステイト付きスケイン代数の対応についての研究を進行している。 本年度の研究で rank 2 の単純リー代数におけるスケイン代数と量子クラスター代数の対応が得られた。今後は、更に一般の高階の単純リー代数において、スケイン代数と量子クラスター代数との対応をウェブを用いて構成する。本年度の rank 2 における結果によって、今後の高階のスケイン代数と量子クラスター代数の対応に関する研究の道筋を示すことができたと考えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
高階のスケイン代数と量子クラスター代数の研究における手がかりとなる rank 2 の単純リー代数についておおよそ研究を一段落させることができた。特に、sp_4 や g_2 におけるステイト付きスケイン代数やクラスプ付きスケイン代数を研究する中で、量子群における整形式に対応するようなスケイン代数の部分代数が現れた。これは今後、１の冪根におけるスケイン代数を考える上でも大切な概念になることが予想される。また、これらの研究の中で表現論的な理解も徐々に進んでおり、一般の単純リー代数における研究の指針をいくつか得ることができたので、当初思い描いていた以上に研究が進んだと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、例外型リー代数 g_2 で得られたスケイン代数と量子クラスター代数の対応について得た結果を石橋氏とともに論文にして発表する。続いて、石橋氏とともにA型やC型の単純リー代数において同様の対応を研究する。そのために、まずウェブを用いてクラスプ付きスケイン代数を定義する。そして、三角形においてクラスター代数の変異列を実現するウェブの列を構成する。一方で、ステイト付きスケイン代数の定義とクラスプ付きスケイン代数との定義を考える。
この他にも、３次元多様体におけるスケイン加群の研究も始める。
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