| 研究課題/領域番号 |
23K12972
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
湯淺 亘 京都大学, 理学研究科, 特定助教 (80824961)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2026年度: 780千円 (直接経費: 600千円、間接経費: 180千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 650千円 (直接経費: 500千円、間接経費: 150千円)
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| キーワード | スケイン代数 / クラスター代数 / モジュライ空間 / スケイン関係式 / 量子クラスター代数 / 量子タイヒミュラー空間 / 量子不変量 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、境界孤を局所化したスケイン代数と量子クラスター代数の包含関係（もしくは一致）を示すことを目標とする。特に、A型とC型の単純リー代数に付随する場合を中心に考える。そして、この対応関係を用いることによって、低次元トポロジーの手法を用いてクラスター代数の問題に取り組んだり、逆に表現論における手法を用いて低次元トポロジーにおける問題の解決を目指す。
また、これらの研究で得られた結果を3次元多様体のスケイン加群の研究に応用して3次元多様体の量子不変量と幾何の関係を明らかにする。
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| 研究実績の概要 |
前年度までに執筆した係数付きクラスター代数とスケイン代数に関する石橋氏と狩野氏との共著論文と、sp_4 のスケイン代数とクラスター代数に関する石橋氏との共著論文が出版された。
例外型 g_2 のステイト付きスケイン関係式と g_2 の基本表現のテンソル積の分解公式の関係を調べることをきっかけとして、一般のリー群におけるステイト付きスケイン代数やクラスプ付きスケイン代数の適切な定義が明らかになってきた。また、これらの二種類のスケイン代数の間のステイト-クラスプ対応と呼んでいる同型対応についても研究を進めている。一般のリー群におけるスケイン代数とクラスター代数の研究は石橋氏と大矢氏と共に進めている。これは本研究課題の主題である。この研究で扱っている対象は表現論や低次元トポロジー、量子トポロジーといった広い分野に寄与する重要な対象である。
さらに、ワイル群作用を考えたタグ付き sl_2-スケイン代数に関する研究も狩野氏と共に進めている。この研究では低次元トポロジーの視点のみからスケイン代数という研究対象を調べていては気付くことのできない構造をクラスター代数の理論と組み合わせることで発見した。スケイン代数とクラスター代数の理論の融合によって進展する研究である点に意義があると考えている。また、このワイル群作用は高階のタグ付きスケイン代数を考える上でも必ず考察すべき対象であると思われる。
これらの研究は低次元トポロジーだけでなく、クラスター代数や表現論などの他分野に精通した研究者と共に議論することで進展してきた。そのような意味でも、様々な分野の発展に寄与する研究内容であると思う。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
2: おおむね順調に進展している
理由
これまでの研究成果が出版された。本研究課題の主題である高階のスケイン代数とクラスター代数に関する研究について、ランク２の理論から一般のリー群へと研究が進展しているので順調であると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
まずランク２のスケイン代数に関して得られている結果を論文として出版する。具体的にはランク２のスケイン代数におけるステイト-クラスプ対応、２角形の（sp_4 と g_2 に関する）ステイト付きスケイン代数と量子座標環との具体的な同型対応の２つに関する論文である。
そして、一般のリー群に関するステイト付きスケイン代数とクラスプ付きスケイン代数の間のステイト-クラスプ対応や、曲面上の局所系のモジュライ空間との対応、代数的性質の研究を石橋氏と大矢氏らと共に進める。
また、ワイル群作用を込めたタグ付きスケイン代数の研究も狩野氏や石橋氏と共に進めていく予定である。
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