| 研究課題/領域番号 |
23K12982
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 国立研究開発法人理化学研究所 |
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研究代表者 |
佐野 岳人 国立研究開発法人理化学研究所, 数理創造プログラム, 基礎科学特別研究員 (20963771)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2027年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
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| キーワード | Khovanov ホモロジー / s-不変量 / 強可逆結び目 / エキゾチック曲面対 / Rasmussen 不変量 / 圏論化 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の目的は，Khovanov ホモロジー理論における整数値の結び目不変量である s-不変量 に対して，
1. s-不変量をホモトピー論的に特徴づけて，その応用範囲を拡大すること，
2. s-不変量と，周辺の結び目ホモロジー理論における類似不変量との関連を明らかにすること
の 2 つである.
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| 研究実績の概要 |
2023年度は単著論文 "Involutive Khovanov homology and equivariant knots" と、中兼啓太氏との共著論文 "Computations of HOMFLY homology" を完成させた。
単著論文では、Khovanov ホモロジーおよび s-不変量を特別な対称性を持つ結び目 (強可逆結び目) に対して拡張した理論を構築し、それを用いて次の定理を証明した: 「強可逆結び目の無限族 J_n で、各 J_n がエキゾチックなスライス円板の組を持つものが存在する」。Khovanov homology を曲面に応用する方向は近年分野で注目を集めており、特に無限族に関する事実が証明できたことの意義は大きい。
共著論文は、2021年に公開した論文の改良である。2021年の時点では、11交点までの (素な) 結び目に対して、部分的にしか HOMFLY ホモロジーを決定できていなかった。今回は計算プログラムを改良し、その全てに対してホモロジーを決定することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
今年度の成果である「同変版 s-不変量の構成」は当初の計画にはなく、近年の分野の急速な発展を背景に新しく進めたものである。この結果は第一に s-不変量の応用性の広がりを示唆するものであり、第二に周辺分野 (特に結び目 Floer 理論) における類似する同変版の不変量との関係性を示唆するものでもあり、当初設定した研究課題の延長線上にある成果である。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の研究の推進方策として、短期的には次の三つを考えている： (i) 今回構成に成功した「同変版 s-不変量」のさらなる応用を探すこと、(ii) 他の対称性 (周期性) を持つ結び目に対して同様の構成を行い応用を出すこと、(iii) 結び目 Floer 理論における類似する不変量との関係性を探ること。
長期的には、本研究課題である「s-不変量のホモトピー論的特徴づけ」を、今回構成した同変版の理論も含めて引き続き調べる。
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