| 研究課題/領域番号 |
23K13001
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| 研究種目 |
若手研究
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
佐野 めぐみ 広島大学, 先進理工系科学研究科(工), 准教授 (70834935)
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| 研究期間 (年度) |
2023-04-01 – 2028-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
4,680千円 (直接経費: 3,600千円、間接経費: 1,080千円)
2027年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2026年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2025年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2024年度: 910千円 (直接経費: 700千円、間接経費: 210千円)
2023年度: 1,040千円 (直接経費: 800千円、間接経費: 240千円)
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| キーワード | 変分問題 / 関数不等式 / 球対称劣臨界ソボレフ空間 / 非コンパクト / Trudinger-Moserの不等式 / 楕円型方程式 / 放物型方程式 / 最小化問題 / 臨界ソボレフ空間 / 安定性解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究では、「臨界ソボレフ空間における関数不等式及びその最良定数に付随する変分問題」について解析を行う。より具体的には、「一般化臨界Hardy不等式の最良定数に付随する変分問題に関するある未解決問題について明らかにすること」を目的とする。
この未解決問題の難点は、スケール不変性と球対称性の欠如という点にある。この未解決問題に対して、調和移植と集中コンパクト性解析、及び関数不等式の安定性解析を組み合わせて研究を行う。
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| 研究実績の概要 |
Hardy不等式やSobolev不等式に関連する関数不等式の最良定数及び付随する最大化問題の最良性や達成可能性（不等式の等号成立条件）について研究を行った。具体的には調和移植を起点とし、「球対称劣臨界ソボレフ空間上で指数型非線形項とそれに対応する適切な重み関数を導出し、Trudinger-Moser型不等式の成立と最良性、達成可能性」について研究を行った。
またこれらの不等式に関する研究を「非線形楕円型方程式の弱解の存在」及び「放物型方程式の時間大域解の存在と大域挙動」へ応用した。
本研究は論文原稿としてまとめられ、現在投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で述べたように、球対称劣臨界ソボレフ空間上で指数型非線形項とそれに対応する適切な重み関数を導出し、そのTrudinger-Moser型不等式の成立と最良性、達成可能性と、その不等式に対応する非線形楕円型方程式の弱解の存在及び放物型方程式の時間大域解の存在と大域挙動についての結果を得た。
放物型方程式の研究では、一部ラプラシアンの線形性を用いて時間大域解の存在を示すため、p-ラプラシアンの場合は結果が得られなかった。この問題に関しては引き続き検討を続ける予定である。
以上の理由により、当該研究はおおむね順調に進展しているといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
調和移植を起点とし、今後は以下の二つの研究を推進していく。
１．指数型非線形項を持つp-ラプラス熱方程式の時間大域解の存在
現在までの進捗状況でも述べたように、放物型方程式の大域解の存在はラプラシアンの線形性を用いて証明したため、p-ラプラシアンの場合は結果が得られなかった。今後はこの問題に関して解析方法を探っていく。
２．一般化臨界Hardy不等式の定量的安定性
一般化臨界Hardy不等式は球対称関数の場合、調和移植でSobolev型不等式と同値となる不等式であるが、非球対称関数の場合は、違ったことがしばしば起きることが分かっている。実際、ソボレフ不等式は有界領域で達成されないのに対して、一般化臨界Hardy不等式はあるパラメータで達成可能性の結果が変わる。またスケール不変構造もソボレフ不等式と大きく異なる。この一般化臨界Hardy不等式に対して、定性的・定量的安定性について解析していく。
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