| 研究課題/領域番号 |
23K17656
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| 研究種目 |
挑戦的研究(萌芽)
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| 配分区分 | 基金 |
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| 審査区分 |
中区分12:解析学、応用数学およびその関連分野
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| 研究機関 | 早稲田大学 |
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研究代表者 |
松崎 克彦 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (80222298)
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| 研究分担者 |
糸 健太郎 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00324400)
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| 研究期間 (年度) |
2023-06-30 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2023年度)
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| 配分額 *注記 |
3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
2025年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
2024年度: 1,170千円 (直接経費: 900千円、間接経費: 270千円)
2023年度: 1,300千円 (直接経費: 1,000千円、間接経費: 300千円)
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| キーワード | 複素解析 / 双曲幾何 / ローレンツ幾何 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
普遍タイヒミュラー空間は擬等角写像を用いて構成され，すべてのタイヒミュラー空間を内包し，その複素構造を決定する空間である．これは単位円周から複素平面への擬対称埋め込みの空間とみなされる．近年，その部分空間の研究が進展し，とくに円周の微分同相写像の空間には複素構造やケーラー計量が導入され，数理物理学における超弦理論では紐の相を記述するパラメーター空間となっている．このように曲線の変形を記述する空間として認識される普遍タイヒミュラー空間を，画像処理の分野で平面曲線の効率的な変形を与える座標空間として用いるための研究である．
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| 研究実績の概要 |
ヴェイユ・ピーターソン曲線の可視化のために，以下のような準備を行なった．可積分タイヒミュラー空間はヴェイユ・ピーターソン曲線のパラメータ空間として近年関心がもたれている．可積分性の指数を一般化することなども含めて理論の拡張が試みられてきたが，曲線族の表現とそれを定義する関数空間上の作用素に関する従来からある調和解析的な議論に技術的に依存する部分があった．その問題に関して，複素解析的なタイヒミュラー空間論の視点である曲線の同時一意化の方法により，これまでの理論を見通しよく整備できる研究のある方向について発見することができた．
複素平面の双リプシッツ自己同相写像による円周または直線の像を弦弧曲線という. 弦弧曲線の族はヴェイユ・ピーターソン曲線を含むより一般化されたクラスである．弦弧曲線を像にもつような直線の埋め込みの空間も同時一意化の方法によりタイヒミュラー空間を用いて座標付けすることができる. この空間について2つの問題が考えられている: (1) 空間は連結であるか? (2) 弦弧曲線に対して定まる弧長パラメーターからリーマン写像パラメーターへの対応は連続か? この問題が弦弧曲線の可視化のためにどのように影響するかを研究した．
双曲幾何的に表現される擬対称埋め込み写像にに関して，以下の研究を行なった．任意に与えられた２つの双曲的１点穴あきトーラスについて、一方からもう一方への変形を与えるために最大に引き伸ばす測地線層および左右の地震変形の測地線層を数値的に求める試みを行った。さらに、これらの測地線層を3次元反ド・シッター空間とみなした SL(2,R) の中で可視化した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
理論的な準備段階の研究が先行していて，曲線を生成するためのアルゴリズムの研究にまで進んでいない．
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| 今後の研究の推進方策 |
平面上の単純閉曲線の族に適切な座標付けを行い，その空間に計量を導入し，ある曲線から別の曲線への最も効率的な変形を記述する．さらには曲線を等角接合の方法により１次元空間の同相写像（指紋）で認証する方法を一般化する．これらの理論構成をパッケージ化することにより，目的に応じて座標空間の構造と計量を取り替えて，曲線の変形操作をアルゴリズム化する．さらに，得られたデータから変形のための擬等角写像のベルトラミ係数を書き出し，それを数値擬等角写像を構成するプログラムに乗せて，曲線の変形の過程を可視化する．
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