| 研究課題/領域番号 |
23K20204
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| 補助金の研究課題番号 |
20H01792 (2020-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2020-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
三枝 洋一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (70526962)
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| 研究分担者 |
阿部 紀行 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (00553629)
伊藤 哲史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10456840)
今井 直毅 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90597775)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2020年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
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| キーワード | 局所志村多様体 / 局所ラングランズ対応 / パーフェクトイド空間 / エタールコホモロジー / p進簡約代数群の表現論 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
古典群の局所ラングランズ対応とは，p進体上の古典群の既約表現を，p進体の絶対Galois群の表現によって把握するという理論である．その理論の根幹をなす局所Aパケットの構成は，保型表現論を駆使する間接的かつ難解なものである．志村多様体(高次元モジュラー多様体)のp進版である局所志村多様体のエタールコホモロジーと局所Aパケットの関係を明らかにすることで，局所Aパケットを直接的・幾何学的に扱う手段を開発することが本研究課題の第一の目標である．さらに，その手段を適用することで，局所ラングランズ対応が関係する幅広い分野に新たな成果・知見をもたらすことが第二の目標である．
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続き，一般斜交群GSp(4)に伴う局所志村多様体のエタールコホモロジーが局所ラングランズ対応をどのように反映するかについての研究を中心的に進めた．前年度に行った情報収集において，Fargues-Scholzeによる局所ラングランズ対応の幾何学化の研究が，局所志村多様体のエタールコホモロジーを調べる上で重要な役割を果たすことが判明した．そこで，本年度はまず，国内の専門家を集めた研究集会を開催し，Fargues-Scholzeの研究について詳細に検討を行った．さらに，得られた知見を用いることで，GSp(4)に伴う局所志村多様体のエタールコホモロジーのGSp(4)-超尖点部分を局所ラングランズ対応を用いて完全に記述することに成功した．これは研究開始時の想定を上回る成果である．これまでの手法では，保型表現に大域化できる許容表現がエタールコホモロジーにどのように寄与するかしか決定できていなかったが，Fargues-Scholzeの結果を援用することで，保型表現に大域化できるという条件を外すことが可能になったのが最も顕著な進展である．同様の手法を，より複雑なGSp(6)の場合にも適用できるかどうかの検討も行った．その結果，少なくとも部分的にはうまくいきそうだという感触が得られたが，それと同時に，具体的な成果を挙げるには，数論幾何と保型表現論の双方においてさらに研究が必要であるという課題も判明した．これらの課題については，次年度以降の研究において優先的に扱う予定である．
また，特任研究員を雇用することによって，局所志村多様体とGalois表現の保型性の関わりについても詳細な検討を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
Fargues-Scholzeによる局所ラングランズ対応の幾何学化の研究を援用することで，GSp(4)に伴う局所志村多様体のエタールコホモロジーを局所ラングランズ対応を用いて記述する研究において，当初期待していたよりも優れた成果を得ることができたため．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に得た成果について，証明の詳細を再確認しつつ論文を作成する．また，今年度に発見した手法を，より複雑なGSp(6)の場合に適用できるようにするために，数論幾何と保型表現論の両側面から，さらに詳細な研究を進める．
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