| 研究課題/領域番号 |
23K20213
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| 補助金の研究課題番号 |
20H01802 (2020-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2020-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 慶應義塾大学 |
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研究代表者 |
井関 裕靖 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (90244409)
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| 研究分担者 |
近藤 剛史 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60467446)
納谷 信 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (70222180)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
9,360千円 (直接経費: 7,200千円、間接経費: 2,160千円)
2024年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
2023年度: 2,340千円 (直接経費: 1,800千円、間接経費: 540千円)
2022年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2021年度: 1,690千円 (直接経費: 1,300千円、間接経費: 390千円)
2020年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
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| キーワード | 離散群の剛性 / 離散群の固定点性質 / 従順群 / 離散群 / 剛性 / 調和写像 / ランダムウォーク / Poisson境界 / 非正曲率距離空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
離散群の非正曲率距離空間への等長的作用を、調和写像、ランダム・ウォーク等を用いた幾何学的な視点から研究する。非正曲率距離空間は大きな広がりをもった距離空間であり、離散群が非正曲率距離空間へどのような作用をするかという情報は、離散群の性質を知る上で有用である。本研究では、離散群が「思いの外、非正曲率距離空間に自由に作用できない」という現象を捉えた極めて興味深い性質である「離散群の剛性」あるいは「離散群の固定点性質」の幾何学的な背景を明らかにすること目指す。
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、離散群から非正曲率距離空間への調和写像および離散群と非正曲率距離空間の間の境界写像を用いて、離散群の剛性の背景を幾何学的な視点から明らかにすることであった。
本研究の昨年度までの成果として、「2次モーメントが有限なランダムウォークが与えられた可算群Gが非正曲率距離空間YにYの無限遠点を固定しないような等長的作用をしているとき、Gの作用の軌道に移植したランダムウォークの逃走指数が0になるための必要十分条件は、Yの中にGの作用で不変な平坦部分空間が存在することである」という結果が得られていた。さらに、この成果を基盤とし、ジュネーブ大学の Anders Karlsson 教授との共同研究を行い、次のような固定点定理を証明していた：「劣指数的な増大度をもつ無限ねじれ群あるいは無限単純群の非正曲率距離空間Yへの等長的作用は、YまたはYの無限遠境界に固定点をもつ」。
今年度の一つの課題は、この固定点定理のより広いクラスの従順群へと拡張である。上述の二つの結果は、群Gからの同変調和写像の存在を用いて証明されているが、この手法を適用するには、2次モーメントが有限で逃走指数が0となるようなランダムウォークが存在している必要がある。Anders Karlsson 教授との共同研究の進展により、これまでとは異なる超極限の用い方とある種の分裂定理を証明することにより、概ね次のようなことが証明できると考えている：「有限生成従順群について、次の(1)または(2)が成立する。(1) Gは有限次元ユークリッド空間に固定点をもたない作用をし得る。(2) Gは有限次元の非正曲率きょり空間には固定点をもたないように作用し得ない。」
証明の細部の確認が済み次第論文として発表する予定である。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
3: やや遅れている
理由
研究計画を立てた時点では想定していなかった学内の複数の用務を引き受けざるを得なくなった。そのため、とくに海外出張を含む出張の日程に種々の制約がかかり、研究計画を予定の通りに遂行することが困難になった。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、上述の従順群の固定点性質の証明を細部まで完結させ、Anders Karlsson 教授との共著論文としてまとめる。また、引き続き本研究の核である超剛性の研究にも取り組む。
昨年度までの成果として得られていた、上述した逃走指数が0となるような作用の特徴づけから、可算群Gが非正曲率距離空間Yに等長的にYの無限遠点を固定しないような作用をするとき、Yの中にGの作用で不変な平坦な部分空間が存在しなければ、必ずGのPoisson境界からYの無限遠境界への同変写像が存在することがわかっている。さらに、本研究ではこれまでに、この写像がGとYの漸近錐の間の同変写像に拡張できることも示している。GとYの漸近錐の構造の解析、および同変写像の挙動に関する考察を深め、漸近錐の間の写像の存在がGのYへの作用に関するどのような制約になっているかを明らかにする。距離空間の漸近錐は、スケーリング列を一つとり、距離空間の縮小超極限をとることによって得られる。これまでの研究から、スケーリング列のとり方を変えることで異なる情報が得られることがわかっている。スケーリング列のとり方を変えて得られる情報を適切に統合することにより、群Gの距離空間Yへの作用の制約が捉えられると考えている。
さらに、この考察を推し進めることにより、階数が2以上の局所体上の単純代数群あるいは単純Lie群の格子Gの超剛性を証明したいと考えている。これらの格子Gの漸近錐はユークリッド的ビルディングと呼ばれる極めて対称性が高く、かつ剛性の高い距離空間となっている。このユークリッド的ビルディングの剛性は、その中の平坦部分空間の配置の特異性によるものと思われる。このことに注目し、平坦部分空間の特異性から格子Gの超剛性を導くことを試みる。
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