| 研究課題/領域番号 |
23K20221
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| 補助金の研究課題番号 |
20H01813 (2020-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2020-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 埼玉大学 |
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研究代表者 |
長澤 壯之 埼玉大学, 理工学研究科, 教授 (70202223)
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| 研究分担者 |
矢崎 成俊 明治大学, 理工学部, 専任教授 (00323874)
仙葉 隆 福岡大学, 理学部, 教授 (30196985)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,550千円 (直接経費: 13,500千円、間接経費: 4,050千円)
2024年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2023年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2022年度: 3,510千円 (直接経費: 2,700千円、間接経費: 810千円)
2021年度: 3,250千円 (直接経費: 2,500千円、間接経費: 750千円)
2020年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 非局所曲率流 / 爆発解 / 爆発時刻 / 爆発レート / 解の爆発 / 曲率流 / メビウス・エネルギー / 勾配流 / 等周比 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非局所曲率流の挙動について、以下のような予想がある。初期曲線の回転が2以上の場合で等周欠損は負になる場合は有限時刻爆発する事が知られている。爆発は曲線上の有限個の点で起こり、回転数を爆発点の多重度を込めた個数分減らし、弱解として解が延長される。最終的に回転数が1となり、その後は第1種の爆発を起こし1点に縮退するか、爆発を起こさずに最終的に円に収束すると考えられる。初期曲線の回転が2以上でも等周欠損が負でない場合は、多重円に収束する。本研究では、この予想の端緒となる部分の解明を目指す。すなわち、非局所曲率が有限時刻で爆発するメカニズムを解明し、爆発を誘導する初期曲線や等周欠損との関連を調べる。
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| 研究実績の概要 |
本研究では、平面閉曲線に対する非局所項を持つ曲率流の漸近解析を目的としている。代表者により、一昨年度に、解が有限時刻爆発するための十分条件、爆発時刻の上からの評価、爆発レートの導出を行った。昨年度は、爆発時刻の下からの評価と爆発レートの改良を、初期曲線に凸性を仮定して行った。これは、凸性を仮定せずに示すべきものであると考え、成果発表は今年度は見送った。今年度は、昨年度の成果を初期曲線は凸とは限らない場合に拡張することに成功し、学会において成果を公表した。加えて分担者により、走化性方程式の解の爆発現象に関する成果、ヘレ-ショウ方程式の数値解析に関する成果を得た。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
曲率流に関して、爆発解の研究は多々あるが、多くは爆発する事を仮定して漸近解析を行っている。実際、爆発を起こす初期曲線は存在するが、どのような場合に爆発するかその条件を与えた研究は見当たらない。また爆発の様子も時刻 T で爆発するとしてその近傍で漸近解析がほとんどである。爆発時刻は初期曲線によって決まるはずであるが、どれがどのように決まるかは明らかになっていないと思われる。これまでの本研究で場揮時刻を初期曲線から決まる量で上下から評価を与える事が出来た。このような成果は、代表者および分担者の知る限りでは存在しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに、爆発時刻の評価について、上からの評価(2020年度)、初期曲線が凸の場合の下からの評価(2021年度)、初期曲線に凸性を仮定しない場合の下からの評価(2022年度)を得た。上からの評価と下からの評価については乖離がある。これは、2種ある爆発解を区別なく評価したためである。状況から判断すると、上からの評価は第1種爆発解のもの、下からの評価は第2種爆発解のものを捉えていると思われる。それを明確にすること、あるいは初期曲線の形状をある程度していして、爆発解の種類を限定して上下からのよりよい評価を得ることが目標である。
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