| 研究課題/領域番号 |
23K20223
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| 補助金の研究課題番号 |
20H01815 (2020-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2020-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京女子大学 |
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研究代表者 |
宮地 晶彦 東京女子大学, 現代教養学部, 研究員 (60107696)
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| 研究分担者 |
田中 仁 筑波技術大学, 障害者高等教育研究支援センター, 講師 (70422392)
冨田 直人 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (10437337)
筒井 容平 京都大学, 理学研究科, 准教授 (40722773)
澤野 嘉宏 中央大学, 理工学部, 教授 (40532635)
小林 政晴 北海道大学, 理学研究院, 准教授 (30516480)
中井 英一 茨城大学, 基礎自然科学野, 特命研究員 (60259900)
古谷 康雄 東海大学, 理学部, 特任教授 (70234903)
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| 研究期間 (年度) |
2020-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
16,120千円 (直接経費: 12,400千円、間接経費: 3,720千円)
2024年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2023年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2021年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2020年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
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| キーワード | 調和解析 / 実関数論 / 関数解析 / 関数方程式 / 関数空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
本研究の概要は，(1)多重線形特異積分作用素の性質，(2)調和解析に現れる非負関数の不等式，(3)特異積分作用素と関数空間の応用，について研究することである．これらの課題の探求方法として実関数論の方法を用いる．研究課題はいずれもユークリッド空間またはその領域上の関数とそれに作用する作用素に関する調和解析の研究課題であり，それらに対する実関数論の方法を開発する点とその応用をめざす点に特色がある．
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| 研究実績の概要 |
多重線形の擬微分作用素の理論で、シンボルの導関数が決まった関数で抑えられるS_{0,0}と呼ばれるクラスのシンボルを持つ多重線形擬微分作用素のLebesgue空間、Hardy空間、BMO空間の間での有界性については、これまでにほぼ満足のいく結果を得ていた。2022年度には、或る特殊な形の双線形フーリエ乗子作用素の研究に力を入れた。我々の研究に先立ち、Rodriguez-Lopezらは2014年以降に、S_{1,0}クラスという良いクラスのシンボルに斉次1次の相関数をもつ振動項を入れた特殊の双線形擬微分作用素やそれを一般化したFourier積分作用素を考察し、それらの双線形作用素に対してはS_{0,0}クラスの一般論から出る評価より良い評価が成り立つ、という結果を得ていた。2022年度には、特殊な直積型の振動項を含む双線形Fourier乗子作用素を考察し、Rodriguez-Lopezらの結果を改良する新しい結果を得た。
特殊な多変数球対称関数のFourier級数に対して、1変数のFourier級数の場合に知られているGibbsの現象や多変数の場合のPinskyの現象などに関係した級数の発散の様子を詳しく調べた。また、絶対収束するFourier級数を持つ関数のなす関数環を一般化した或る関数環に対して、それに作用する関数が解析関数に限る場合とそうでない場合があることを確認した。
非負関数に関する不等式の研究で、これまで２進立方体の族の持つ入れ子構造を基礎として展開されていた２進立方体の理論を、直方体の族の場合に一般化し、２進直方体の解析の理論を展開した。
対称なマルコフ半群によって定義される分数階積分作用素の理論を、一般の重み関数に関する分数階積分作用素にまで拡張し、それを応用してHeisenberg群上のsub-Laplacianの生成する消散過程の半群の性質を調べた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
多重線形擬微分作用素など、調和解析に現れる多重線形特異積分作用素の研究は、本研究の大きな課題のひとつであるが、今年度、S_{1,0}クラスという良いクラスのシンボルに斉次1次の相関数をもつ振動項を入れた特殊の双線形Fourier乗子作用素に対して、これまで知られていなかった指数の条件下でLebesgue空間、Hardy空間、BMO空間の間での有界性を得ることができたのは、今年度の大きな成果である。
非負関数に対する多重線形の不等式を調べることも本研究の大きな課題であるが、これに関して、これまで２進立方体の族を利用して展開されていた理論の一部を２進直方体に一般化し、その解析方法の整備が次第に進んできた。これにはさらなる進展が期待できる。
調和解析に登場する種々の関数空間を調べることに関しては、多重線形の特異積分作用素や多重線形分数階積分作用素の研究にも関連して、時間周波数解析の手法を用いることや、そこで扱われるモデュレーション空間などの関数空間を利用することが有効であることがわかった。また、Morrey空間など、調和解析に頻繁に現れる関数空間に関して、それらの関数空間やそれに作用する作用素の一般的な性質の研究も進んでいる。
実関数論と調和解析の結果と方法を関数方程式の解析に利用することに関して、Navier--Stokes方程式や、Schrodinger方程式、Airy方程式などの偏微分方程式に対して、短時間Fourier変換や種々の関数空間を利用した解析を展開することができた。これらは今後のさらなる発展につながると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
多重線形の擬微分作用素の研究に関しては、2022年度において、S_{1,0}クラスという良いクラスのシンボルに斉次1次の相関数をもつ振動項を入れた特殊の双線形Fourier乗子作用素に対してひとつの結果が得られた。これはRodriguez-Lopezらによって得られていた結果を改良するものである。2023年度以降、この結果を拡張して、他の同種の作用素の場合を調べたい。この研究は、宮地、冨田、古谷を中心として進める。
非負作用素や非負関数に関する不等式の研究は、これまで主に田中が中心となって進め、Hausdorffコンテントや２進直方体を利用した研究において成果を得た。2023年度以降も、田中に古谷と澤野が協力して、実関数論の方法と種々の関数空間の方法を取り入れ、加法的でない測度に関するLebesgue空間の研究や２進直方体の族を用いる研究を進める。
調和解析に現れる関数空間の研究では、2023年度以降も種々の関数空間に対して詳しい研究を進める。とくにMorrey空間などの再配列不変でない関数空間の研究を進める。この研究は、澤野、宮地、冨田、中井が協力して進める。
実関数論の方法や調和解析の結果と方法を関数方程式の解析に応用する研究は、2023年度以降も引き続き、筒井、小林、澤野が中心となって進める。
解析学関連の研究集会やセミナーにおいて解析学の広い分野の研究者と最近の研究に関して研究連絡・研究討論を行う。研究集会などに本研究の代表者・分担者が出席するだけでなく、研究協力者にも出席を依頼して研究連絡・研究討論を行う。
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