| 研究課題/領域番号 |
23K20786
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00973 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 京都大学 |
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研究代表者 |
伊藤 哲史 京都大学, 理学研究科, 准教授 (10456840)
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| 研究分担者 |
田中 祐二 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 博士研究員 (00647993)
大島 芳樹 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10746936)
越川 皓永 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (10791452)
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
松本 雄也 東京理科大学, 創域理工学部数理科学科, 講師 (50773628)
津嶋 貴弘 慶應義塾大学, 医学部(日吉), 教授 (70583912)
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| 研究期間 (年度) |
2024-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 非アルキメデス幾何 / 超ケーラー多様体 / モジュライ |
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| 研究開始時の研究の概要 |
近年，非アルキメデス幾何は大きく発展しており多くの応用が得られている．しかし，非アルキメデス幾何は発展途上であり満足のいく基礎理論はまだ無い．超ケーラー多様体はアーベル多様体やK3曲面を含む多様体のクラスであり，美しい幾何的性質を持つだけでなく，数論や数理物理とも深いつながりを持つ．本研究では，非アルキメデス幾何の手法を用いて超ケーラー多様体の退化・崩壊やモジュライ空間の構造を解明し，数論・代数幾何・数理物理などの様々な分野の問題に応用する．
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| 研究実績の概要 |
本研究では、非アルキメデス幾何の手法を用いて、超ケーラー多様体およびそのモジュライ空間の構造を解明し、数論・代数幾何・数理物理などの諸分野に応用することを目指している。この目的のもと、7月には研究集会「Mini-workshop on arithmetic and geometry of moduli spaces」および「超ケーラー多様体のモジュライとその周辺」を開催し、超ケーラー多様体のモジュライ空間や半安定還元の周辺分野の研究者を招聘して情報交換を行った。10月には国際研究集会「Workshop on Shimura varieties, representation theory and related topics, 2024」を開催し、数論幾何やモジュライ空間に関連する最先端の話題について活発な研究討論を行った。K3曲面の自己積に対するホッジ標準予想を証明した論文が専門誌に掲載されたほか、ファノ多様体のモジュライ空間やその幾何学・コホモロジーの研究も進められ、数論的有限性への応用が試みられた。研究分担者においても、非分離クンマー曲面に関する理論的研究や、超ケーラー多様体と関係するカラビ・ヤウ錐のコンパクトモジュライ空間の構成および退化の幾何構造の解析、有限体上の多様体の表現論への応用に関する研究が行われた。これらの研究を推進するために、周辺分野のセミナーや勉強会を開催するとともに、非アルキメデス幾何や超ケーラー多様体に関する知識・技能を有する大学院生を研究補佐員として雇用し、専門的知見の提供を受けた。これまで以上に充実した研究活動を行うことができた。
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| 現在までの達成度 |
現在までの達成度
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本研究課題は分野横断的なテーマであり、超ケーラー多様体のモジュライ空間に関わる代数幾何・数論幾何・数理物理の研究者との連携が不可欠である。今年度も複数の研究集会やセミナーを主催・開催し、国内外の専門家と活発に意見交換を行った。特に、超ケーラー多様体のモジュライ空間やファノ多様体の幾何構造に関する研究は大きく進展した。非アルキメデス幾何やモジュライ空間の応用として有限体上のK3曲面の自己積に対するホッジ標準予想を証明した論文が専門誌に掲載されたことは大きな成果であった。さらに、ファノ多様体のモジュライ空間の数論的有限性に関する研究も進展した。研究分担者においても、クンマー曲面の非分離類似に関する理論や、カラビ・ヤウ錐の退化構造とモジュライ空間の構成に関する研究、有限体上の代数多様体のコホモロジーの表現論への応用等が進められた。これらの研究を推進するため、関連分野に知識を有する大学院生を研究補佐員として雇用し、専門的な支援を得ながら効率的に研究を進めることができた。以上のように、当初の計画以上に順調に研究を進めることができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
来年度は本研究課題の最終年度となるため、これまでの成果を踏まえて、本研究の総括と今後の発展的展開に向けて研究を進めることを重視する。超ケーラー多様体やそのモジュライ空間は世界的に活発に研究されている分野であり、近年も大きな結果が得られている。幾何学的・数論的な研究を一層深化させ、特に正標数や混標数の状況における周期写像の理解とその応用の研究に注力する予定である。非アルキメデス幾何の枠組みを用いて、志村多様体やp進保型理論への応用にも積極的に取り組む。これまで同様、研究集会やセミナーを引き続き開催し、分野を超えた議論の場を設ける予定である。将来を見据えて若手研究者の育成にも力を入れたい。大学院生やポスドクを研究補佐員として受け入れ、専門的知識を提供させるとともに、研究者同士の交流も促進させたい。本研究課題終了後も継続的に研究を進められる土壌を整備したい。
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