| 研究課題/領域番号 |
23K20790
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00977 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 筑波大学 |
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研究代表者 |
山口 孝男 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (00182444)
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| 研究分担者 |
永野 幸一 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30333777)
本多 正平 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (60574738)
三石 史人 福岡大学, 理学部, 助教 (80625616)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
10,010千円 (直接経費: 7,700千円、間接経費: 2,310千円)
2025年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2024年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2023年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2022年度: 1,950千円 (直接経費: 1,500千円、間接経費: 450千円)
2021年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
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| キーワード | 崩壊理論 / アレクサンドロフ空間 / リッチ極限空間 / 境界つきリーマン多様体 / CAT空間 / リプシッツ・ホモトピー / 境界付きリーマン多様体 / CAT 空間 / リプシッツ・ホモトピー収束 / 局所CAT(1)空間 / 線織面 / 位相的特異点集合 / 境界つき多様体 / CAT(1)空間 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
リーマン多様体の収束・崩壊理論は,多様体の曲率と位相の関係を解明する上で重要であり、微分幾何学の主要な研究テーマの一つになっている. 本研究は、断面曲率やリッチ曲率の下からのバウンドの下に、リーマン多様体の収束・崩壊の一般理論構築に向けた取り組みである.位相幾何的手法、極限空間に代表される曲率の概念をもった特異空間の幾何学と幾何解析的手法など, 様々な手法を一層進展させ、総合的に研究を進めて行くことにより、次の課題に挑む:
(I) 崩壊多様体と極限空間の間の位相的、幾何的、解析的な関係を解明する.
(II) 極限空間に代表される曲率の概念をもつ距離空間の幾何解析を進展させる.
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| 研究実績の概要 |
曲率が上に有界な距離空間は局所CAT(1)空間ともよばれ、幾何学的群論をはじめ、他分野にも広く関連する。これまでの研究で、我々は曲率が上に有界な２次元距離空間の局所構造を完全に決定した。これは、曲率が上に有界な距離空間の一般的な局所構造を(２次元ではあるものの)世界で初めて解明したという点でも意義深い。今年度、局所構造に関するPartIの論文が、国際誌 Geometry and Topology に掲載されることになった。今年度の研究において、そのような空間の局所CAT(1)多面体による定量的ホモトピー近似やガウスボンネ定理、さらに測地空間が2次元局所CAT(1)空間であるための必要十分条件を線織面などの言葉で記述した。これらの結果をPartIIの論文としてまとめ、arXiv 並びに国際数学雑誌に投稿することができた(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究）。非崩壊の枠組みにおけるアレクサンドロフ空間のリプシッツ・ホモトピー収束に関して、定性的な結果が三石・山口により知られていた。我々はこの結果を改良し、定量的なリプシッツ・ホモトピー収束に関する結果を得た。この結果を論文にまとめ、arXiv 並びに国際数学雑誌に投稿することができた（三石史人氏、藤岡禎司氏との共同研究）。以前我々は境界をもたない3次元アレクサンドロフ空間の崩壊に関する研究をまとめ、国際誌に発表した。今年度の研究により、崩壊する境界つき3次元アレクサンドロフ空間の位相を特異ファイブレーションの言葉を用いて完全に決定した。特に極限空間が1次元以下である場合、3次元崩壊アレクサンドロフ空間は非負曲率アレクサンドロフ空間に同相であることなどが判明した（三石史人氏との共同研究）。２月に筑波大学において、研究集会「リーマン幾何と幾何解析」を開催し、研究分野の最新の動向についての情報を得ると共に、後進の育成に努めた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
２次元局所CAT(1)空間の大域構造に関する論文、アレクサンドロフ空間の定量的リプシッツ・ホモトピー収束に関するの論文、3次元境界付きアレクサンドロフ空間の崩壊に関する論文を書き終えて、arXiv や国際誌に投稿しているため。
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| 今後の研究の推進方策 |
先ずは、境界付きリーマン多様体の極限空間の幾何学を展開して、このような極限空間の幾何学の基礎を確立し、論文完成を目指す。さらにリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体で内半径崩壊するものの極限空間に関する論文を完成させる。
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