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標準束の複素幾何学; 標準計量の退化と漸近挙動の研究

研究課題

研究課題/領域番号 23K20792
補助金の研究課題番号 21H00979 (2021-2023)
研究種目

基盤研究(B)

配分区分基金 (2024)
補助金 (2021-2023)
応募区分一般
審査区分 小区分11020:幾何学関連
研究機関東京大学

研究代表者

高山 茂晴  東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (20284333)

研究期間 (年度) 2021-04-01 – 2026-03-31
研究課題ステータス 交付 (2024年度)
配分額 *注記
11,960千円 (直接経費: 9,200千円、間接経費: 2,760千円)
2025年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2024年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
2022年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2021年度: 1,430千円 (直接経費: 1,100千円、間接経費: 330千円)
キーワード相対標準束 / 標準計量 / 漸近挙動 / Griffiths正値性 / 最小拡張 / 複素幾何学
研究開始時の研究の概要

高次元代数多様体のモジュライ空間の複素幾何学的な側面からの理論の構築を目指す. 退化も許す複素多様体の族 f : X --> Y に対し, その相対標準束 K_{X/Y} は f の多くの基本的な情報を持つ. その各巾 mK_{X/Y}, さらには順像層 f_*(m K_{X/Y}) に幾何的な設定に応じた標準計量が入る. これらの標準計量および曲率形式の性質は, 非常に基本的かつ重要であると期待される. これを近年目覚しく発展している諸理論, 代数多様体の極小モデル理論, Donaldson, TianらのKahler-Einstein計量に代表される標準ケーラー計量の存在とK安定性の理論, 正則関数のL2拡張理論を総合して研究を行う.

研究実績の概要

複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴束 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行った. この正値性の研究は f : X --> Y や L をどう設定するかにより, 多種多様な問題に応用される. より具体的には次のような場合に研究を行った. 一つ目は E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X=P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_ * (K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. E が豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. Griffiths予想とは「E にGriffiths正なエルミート計量が入る」というものであり, 上の考察とは幾らかの(大きな)食い違いがある. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. 二つ目は, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究である. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ3--4年前の研究を発展させる形で研究を行った.
一方,7月下旬には国際研究集会「多変数複素解析葉山シンポジウム」を、12月には国際研究集会「複素幾何学シンポジウム」を共同開催した.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

これまでの解析的な研究成果をもとに、代数幾何の研究者と共同研究が進行しつつあるから。

今後の研究の推進方策

これまでの研究を継続して研究を行う. 複素多様体間の固有正則写像 f : X --> Y に関して, その相対随伴 K_{X/Y}+mL およびその順像層 f_*(K_{X/Y}+mL) の正値性に関する研究を行う. E を Y 上の階数 r の豊富ベクトル束とする. f : X = P(E) --> Y を E の射影化, L = O(1) --> X を標準超平面切断束とする. このとき f_*(K_{X/Y}+rL) = det E, f_*(K_{X/Y}+(r+1)L) = E x det E となる. Eが豊富ならば, これら det E, E x det E には順像層として中野正なエルミート計量が入る. det E, E x det E の正値性を与える計量を注意深く構成し, 正値性を評価する必要がある. これまでの経験では、O(1)の正曲率エルミート計量 h を f の各ファイバー毎にどれだけ射影空間 P^{r-1} のO(1)の標準的な計量と近く取れるか、という点が問題を解く鍵のようである。計量 h の構成に大沢-竹腰のL2拡張定理が適用できるのではないかと期待している。この部分についてはL2拡張に詳しい研究協力者と協力する。
一方で, f : X --> Y の一般ファイバーの対数的幾何種数が1の場合の研究を行う. 極小モデルプログラムへの応用を視野に入れ4--5年前の研究を発展させる形で研究を行う. 標語的には捩れ川又正値性定理と呼ばれる順像層の正値性定理を示す. これを応用し、極小モデル理論におけるある種の一般化対数的標準環の有限生成性を示す. ここでは順像層 f_*(K_{X/Y}+L) の正値性よりむしろ、K_{X/Y}+L の正値性が鍵となる. この部分については極小モデル理論の専門家と協力する.

報告書

(3件)
  • 2023 実績報告書
  • 2022 実績報告書
  • 2021 実績報告書
  • 研究成果

    (12件)

すべて 2024 2023 2022 2021

すべて 雑誌論文 (4件) (うち査読あり 4件、 オープンアクセス 1件) 学会発表 (2件) (うち国際学会 1件、 招待講演 2件) 図書 (1件) 学会・シンポジウム開催 (5件)

  • [雑誌論文] Singular Griffiths semi-positivity of higher direct images2023

    • 著者名/発表者名
      Takayama Shigeharu
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen

      巻: 388 号: 4 ページ: 4343-4353

    • DOI

      10.1007/s00208-023-02632-8

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 査読あり / オープンアクセス
  • [雑誌論文] Singularities of L^2-metric in the canonical bundle formula2022

    • 著者名/発表者名
      Shigeharu Takayama
    • 雑誌名

      Amer. J. Math.

      巻: 144

    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Mumford goodness of canonical L^2-metrics on direct image sheaves over a curve2022

    • 著者名/発表者名
      Shigeharu Takayama
    • 雑誌名

      Adv. Math.

      巻: 405

    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
    • 査読あり
  • [雑誌論文] Asymptotic expansions of fiber integrals over higher-dimensional bases2021

    • 著者名/発表者名
      Shigeharu Takayama
    • 雑誌名

      J. reine angew. Math.

      巻: 773 号: 773 ページ: 67-128

    • DOI

      10.1515/crelle-2020-0027

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
    • 査読あり
  • [学会発表] Limits of L^p-space structures on pluricanonical systems.2023

    • 著者名/発表者名
      Takayama Shigeharu
    • 学会等名
      An Alpine meeting on nonpositive curvature in Kaehler geometry.
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
    • 国際学会 / 招待講演
  • [学会発表] 多重標準線形系の L^p 構造の極限について2022

    • 著者名/発表者名
      高山 茂晴
    • 学会等名
      第28回複素幾何シンポジウム
    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
    • 招待講演
  • [図書] The Bergman Kernel and Related Topics: Hayama Symposium on SCV XXIII, Kanagawa, Japan, July 2022 (Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 447)2024

    • 著者名/発表者名
      Kengo Hirachi, Takeo Ohsawa, Shigeharu Takayama, Joe Kamimoto
    • 総ページ数
      377
    • 出版者
      Springer
    • ISBN
      9819995051
    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 第24回多変数複素解析葉山シンポジウム2023

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 第29回複素幾何シンポジウム2023

    • 関連する報告書
      2023 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 第23回多変数複素解析葉山シンポジウム2022

    • 関連する報告書
      2022 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 第22回多変数複素解析葉山シンポジウム2021

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書
  • [学会・シンポジウム開催] 第27回複素幾何シンポジウム2021

    • 関連する報告書
      2021 実績報告書

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公開日: 2021-04-28   更新日: 2024-12-25  

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