| 研究課題/領域番号 |
23K20794
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00981 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11020:幾何学関連
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
梅原 雅顕 東京工業大学, 情報理工学院, 教授 (90193945)
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| 研究分担者 |
山田 光太郎 東京工業大学, 理学院, 教授 (10221657)
Rossman W.F 神戸大学, 理学研究科, 教授 (50284485)
佐治 健太郎 神戸大学, 理学研究科, 教授 (70451432)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 特異点 / 微分幾何学 / 曲面 / 波面 / 部分多様体 / ツバメの尾 / ３次元球面の平坦トーラス / 曲面の臍点 / 実解析写像の特異点 / 曲率 / 超曲面 / カスプ辺 / 半正定値計量 / 交叉帽子 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
筆者は，カスプ辺やツバメの尾などの特異点の判定条件を与える研究に始まり，特異点を外の空間から誘導される計量の退化点とみなして，外の空間を払拭した立場で特異点を扱う枠組みとして「連接接束」の概念を導入し，3 次元定曲率空間内の曲面のガウス曲率，位相，特異点の情報を記述する合計４個の非自明なガウス・ボンネ型の公式を示し，いままで知られていなかった新しい諸結果を得た．これをふまえ本研究では，これまでの２次元多様体上の半正定値計量と特異点との関係についての研究を推進するだけでなく，高次元の多様体の場合にまで研究を拡張し，リーマン多様体あるいはローレンツ多様体内の部分多様体の特異点への応用を与える．
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| 研究実績の概要 |
1. 一昨年度に取り組んだ藤森氏・川上氏・國分氏・Rossman氏・山田氏との「実解析写像の像の解析的拡張の不可能性」の判定に大きな進展があり，11月の数理解析研究所の研究集会において研究発表を行った．これに平行して，東工大の山田氏，横浜国大の本田氏との共同研究で，上記の理論が完成したという仮定のもとで，「de Sitter 時空内の平均曲率が１のカテノイド型の空間的曲面」の解析的な拡張後の曲面がすべて，これ以上の解析的拡張を持たないことを示した．
2. 埼玉大学の福井氏，東工大の卒業生である木下氏，中国のDonghe Pei氏とHaiou Yu氏らと，３次元Minkowski時空の一般化されたカスプ辺の研究について，昨年度に取り組めなかった次数が４の場合を研究し，論文にして投稿した．
3. 熊本大学の安藤直也氏との共同研究として，３次元時空の空間的曲面と時間的曲面それぞれについて，与えたれた滑らかな関数のヘッセ行列から誘導される行列の固有ベクトル場が曲率線となる座標系を見いだし，応用として，これらの時空の曲面の臍点の指数に関する新たな知見を論文にまとめ，年度内に国際誌に掲載された．
4. 研究分担者の山田氏・佐治氏との共同研究として昨年度に行った「３次元の定曲率空間のカスプ辺の写像芽」に関する研究の発展として，一般化されたツバメの尾を定義し，これらについても同様の結論を引き出すことに成功した．
5. 昨年度に引き続き，協力者の北川氏・榎本氏と，３次元球面内において「はめ込まれた平坦トーラスの直径予想」に取り組み，最終的な解決に「あと一歩」という状況に到達した．また，指導していた修士学生の高田君と平面三角形の諸心の他の空間形への変形について，筆者の実解析写像の研究の応用という位置づけで共同研究を行い，成果があがりつつある．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
昨年度から取り組んできた内容が確実に成果を挙げている．熊本大学の安藤氏との臍点の研究が新たに始まり，昨年停滞していた藤森氏・川上氏・國分氏・Rossman氏・山田氏との実解析写像の像の解析的拡張の不可能性の判定についても，研究が再開され，着実に発展している状況である．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度に多くの研究が進展し，また，「研究実績の概要」でも述べたように，いくつか新たなテーマで研究が始まっている．これをふまえ，次年度は，できるだけ，その成果を論文にまとめて投稿することを目標にしたい．
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