| 研究課題/領域番号 |
23K20803
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00991 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
三浦 英之 東京工業大学, 理学院, 教授 (20431497)
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| 研究分担者 |
眞崎 聡 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20580492)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,340千円 (直接経費: 11,800千円、間接経費: 3,540千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
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| キーワード | 非線形偏微分方程式 / 正則性 / 特異性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非圧縮性Navier-Stokes方程式, 調和写像熱流方程式等のスケール不変性をもつ非線形偏微分方程式の研究を関数解析, 実解析の手法を用いて行う. これらの研究において重要な鍵になると考えられる臨界正則性をもつ解を考察し，解の特異点や時間大域挙動の構造の解明を目指す.
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| 研究実績の概要 |
今年度は冪乗型非線形項をもつ半線形熱方程式に関して高橋仁氏(東京工業大学) と共同研究を行った．本研究では方程式を不変とする自然なスケール変換に関して不変となる臨界ルベーグノルム(臨界ノルム)に着目し，解の臨界ノルムがどのように振舞うか考察を行った．ここで「滑らかな解が有限時刻で発散（爆発）するとき，臨界ノルムが発散するか？」という所謂, 臨界ノルム爆発問題は[Brezis,Cazenave, J. Anal. Math.,1996]において言及されている他，Quittner, Soupletによる著書(Birkhauser Advanced Texts,2019)においてもmost interesting and/or challenging open problemsのリストに挙げられている基本的な問題である．球対称性などを課さない場合，この問題は未解決であったが，[溝口,Souplet, Adv. Math.,2019] において解の爆発レートがtype Iであれば，臨界ノルムは発散することを示された．儀我氏らによる一連の研究により, Sobolev劣臨界の場合は爆発は常にtype Iであることが示されているので，臨界ノルムは常に発散することがわかる．本研究では[儀我,Kohn, Comm. Pure Appl. Math.,1985]によって導入された重み付きエネルギーを用いた解析や，調和写像熱流に対する[Struwe, J. Diff. Geom.(1989)]によるblow up解析のアイディアを発展することで，Sobolev優臨界の場合にtype Iの仮定がなくても爆発時刻付近において臨界ノルムが非有界になることを示した．本研究結果の系として，Sobolev優臨界の場合，臨界ノルムが有限な後方自己相似解が存在しないことが示すことができる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
基本的な非線形偏微分方程式の一つである半線形熱方程式において爆発解の挙動について新しい知見を得ることが出来，その解析手法が今後の研究の基盤になると期待できるから．
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| 今後の研究の推進方策 |
半線形熱方程式の解の漸近挙動に関して，より詳細な解析を行う．また並行して他の偏微分方程式の研究も進める．
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