| 研究課題/領域番号 |
23K20803
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00991 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12020:数理解析学関連
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| 研究機関 | 東京工業大学 |
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研究代表者 |
三浦 英之 東京工業大学, 理学院, 教授 (20431497)
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| 研究分担者 |
眞崎 聡 北海道大学, 理学研究院, 教授 (20580492)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,340千円 (直接経費: 11,800千円、間接経費: 3,540千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2021年度: 2,730千円 (直接経費: 2,100千円、間接経費: 630千円)
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| キーワード | 非線形偏微分方程式 / 正則性 / 特異性 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
非圧縮性Navier-Stokes方程式, 調和写像熱流方程式等のスケール不変性をもつ非線形偏微分方程式の研究を関数解析, 実解析の手法を用いて行う. これらの研究において重要な鍵になると考えられる臨界正則性をもつ解を考察し，解の特異点や時間大域挙動の構造の解明を目指す.
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続き，非線形熱方程式の爆発解の研究を行った．具体的には高橋仁氏(東京工業大学) と共同で，全空間において定義されたべき乗型非線形項をもつ熱方程式（藤田型方程式）の有限時間爆発解に対し，自然なスケール変換に関して不変となる臨界ルベーグノルム(臨界ノルム)が爆発時刻付近でどのように振舞うかについて考察した．前年度までの研究によりソボレフ優臨界の場合に，臨界ノルムの上極限が無限大になることを証明することができたが，下極限の挙動は未解明であった．今年度我々はこの問題に取り組み，下極限も無限大になることを示すことができた．本結果は[Brezis, Cazenave, J. Anal. Math. (1996)]において言及されている未解決問題の一つを全空間の場合に肯定的に解決する結果となる．この結果の証明においては[Seregin, Comm. Math. Phys. (2012)]や我々の以前の研究でも用いられたblow up法が基礎となるが，爆発点近傍でリスケールされた解の列の強コンパクト性を示すために，defect measureと呼ばれるラドン測度の解析を行うことが重要となる．また極限関数の考察のため可微分性の低い解に対する局所正則性理論を構築する必要がある．これらの解析には[Giga, Kohn, Comm. Pure Appl. Math.(1985)]によって導入された重み付きエネルギーと，その単調性公式を用いる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線形熱方程式において爆発解の研究において，目的の一つであったソボレフ優臨界における臨界ノルムの爆発問題を解決することができたから．
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでの研究の過程で得られた知見を基に，爆発解の挙動について，より精密な解析を行う．また関連する問題への応用に取り組む．
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