| 研究課題/領域番号 |
23K20808
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| 補助金の研究課題番号 |
21H00996 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
長山 雅晴 北海道大学, 電子科学研究所, 教授 (20314289)
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| 研究分担者 |
北畑 裕之 千葉大学, 大学院理学研究院, 教授 (20378532)
中村 健一 明治大学, 研究・知財戦略機構(中野), 特任教授 (40293120)
田中 晋平 広島大学, 先進理工系科学研究科(総), 准教授 (40379897)
中田 聡 広島大学, 統合生命科学研究科(理), 教授 (50217741)
後藤田 剛 東京工業大学, 情報理工学院, 助教 (80822105)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2024年度: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2023年度: 3,640千円 (直接経費: 2,800千円、間接経費: 840千円)
2022年度: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
2021年度: 4,550千円 (直接経費: 3,500千円、間接経費: 1,050千円)
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| キーワード | 数理モデリング / 反応拡散系 / 分岐理論 / 自己駆動体運動 / 自己駆動体モデル / 体積保存反応拡散系 / 数値シミュレーション / L2勾配流モデル / 特異摂動法 / フェーズ・フィールド方程式 / 界面方程式 / 集団運動 / 分岐解析 / フェーズフィールドモデル / 特異極限方程式 / 体積保存反応拡散方程式 / 進行波解 / 面積保存反応拡散方程式 / 安定性解析 / 数値分岐解析 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
水面の表面張力を変化させることで運動する自己駆動体が複数個あるときに観察される集団運動を理論的に解明することによって，集団運動形成の因子が示され，生物が見せる集団運動原理の解明に繋がることが期待できます．
この研究では数理モデリングとその実験検証の相補的研究によって，自己駆動体に現れる集団運動の発現機構およびその形成機構について理論的側面から明らかにすることを目指します．それと同時に，構築した数理モデルに対する数学解析（時間大域的な一意存在性）を行い，数理モデルの数学的正当性を示し，特殊解として数理モデルに現れる並進運動解や振動運動解，集団運動解等の存在およびその安定性を議論します．
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| 研究実績の概要 |
水面の表面張力を変化させることで運動する自己駆動体が複数個あるときに観察される集団運動を理論的に解明することによって、集団運動の形成される要因が示され、生物が見せる集団運動原理の解明に繋がることが期待できる。この研究では、数理モデリングと実験検証の相補的研究によって、自己駆動体に現れる集団運動の発現機構およびその形成機構について数理科学的点からメカニズム解明を目指している。
2023年度は，2022年度に構築した自己駆動体運動を記述する体積保存型Phase-Fieldモデルに対して、L2勾配流モデルとして新しく体積保存型Phase-Field方程式の導出に成功した。この数理モデルは前年度構築した数理モデルと一部異なっているが，特異極限系は前年度構築した反応拡散系モデルと同一であることを明らかにした。これによって最終的にL2勾配流を基盤とした自己駆動体運動モデルを完成させた。このL2勾配流型体積保存Phase-Fieldモデルをさらに発展させ、三角形形状、四角形形状等の任意の正多角形形状や楕円形状、ダンベル形状の自己駆動体を表現するL2勾配流型体積保存Phase-Fieldモデルの構築を行った。反応拡散系モデルでは一般に変形と回転が区別できないが、我々の定式化によって回転運動と並進運動を起こす自己駆動体運動モデルを反応拡散系モデルで表現することに成功した。さらに、楕円形状自己駆動体は短軸方向への運動が安定であることが数値的に示され、これまでの数理モデルでの結果と矛盾しないことを明らかにした。この数理モデルを用いて排除体積効果を含めることによって、複数の自己駆動体運動を表現する数理モデルの構築に成功した。今後この数理モデルを用いて、自己駆動体の集団運動実験を再現し，集団運動形成メカニズムを理論的に示していく。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
L2勾配流モデルとして体積保存型Phase-Field方程式の導出に成功し、その拡張として自己駆動体運動モデルを確立することに成功した。この数理モデルに対する特異極限モデル（自由境界モデル）は昨年構築した反応拡散系モデルの特異極限モデルと一致することがわかった。これによって2次元自己駆動体運動の数理モデルとして反応拡散系モデルの定式化が完了した。さらにこの数理モデルを拡張することで変形する液滴だけでなく、形状が固定された自己駆動体運動を記述する数理モデルの導出に成功した。この数理モデルは回転運動も記述することに成功した。実際、楕円形状自己駆動体の運動は、過去の研究結果と同様に短軸方向に運動することが数値計算によって確認された。また、三角形形状の自己駆動体運動やダンベル形状の自己駆動体運動を数値計算することが可能あることがわかった。今後は集団運動の数理モデリングおよび数値計算に取りかかる．
今年度も札幌非線形現象研究会、応用数理研究会，北陸応用数理研究会を予定通り開催することができ，情報交換や研究交流も十分行うことができた．
以上のことから，当初の研究計画と比較して概ね順調であると判断している．
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| 今後の研究の推進方策 |
最終年度は自己駆動体運動モデルを用いた現象の再現と数理モデルの数理解析を行う．具体的には次の通りである．
【1】樟脳円盤集団運動モデルの構築と検証．構築した体積保存型反応拡散系自己駆動体モデルに対して，表面張力関数が下に凸の単調減少の場合でも，２つの樟脳粒子の非対称回転運動が出現する条件を求め，樟脳円盤の集団運動を記述する数理モデルを完成させる．
【2】自己駆動体運動の数理解析．構築した体積保存型反応拡散系面積保存型モデルに対してその解構造を解析する．新たに発見したダンベル型定常解の存在と円盤定常解からダンベル型定常解への分岐解析を行う．また，これらの定常解の安定性についても解析を進める．面積が小さい場合には円盤定常解から等速運動解へ分岐することが示唆されたため、円盤定常解から等速運動解への分岐とその線形化安定性解析を行う．解析的に困難である場合は固有値問題を精度保証数値計算法で解くことも念頭に研究を遂行する．
【3】化学反応を伴う液滴運動を記述する数理モデルの構築と検証．水溶液中の化学物質と中和反応を起こす自己駆動体粒子は間欠振動現象を生じることが実験によって知られており，本研究で構築した2次元モデルを用いて間欠振動現象の再現を行い，間欠振動の理論的メカニズムを示し，実験によりメカニズムの検証を行う．また，複数のサリチル酸エステル液滴が水溶液中に含まれるSDS分子と水面で化学反応を起こしながら，素面上で規則的な集団運動をし，やがて停止する現象が知られている．反応拡散系モデルに対して化学反応を加えた数理モデルを構築することで，液滴集団運動を再現し，この集団運動に対するメカニズムを考察する．そして実験によって提唱したメカニズムに対する実験検証を行う．
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