| 研究課題/領域番号 |
23K20812
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| 補助金の研究課題番号 |
21H01000 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
渡部 善隆 九州大学, 情報基盤研究開発センター, 准教授 (90243972)
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| 研究分担者 |
宮路 智行 京都大学, 理学研究科, 准教授 (20613342)
木下 武彦 佐賀大学, 理工学部, 准教授 (30546429)
小林 健太 一橋大学, 大学院経営管理研究科, 教授 (60432902)
土屋 卓也 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00163832)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
採択後辞退 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,160千円 (直接経費: 13,200千円、間接経費: 3,960千円)
2024年度: 4,030千円 (直接経費: 3,100千円、間接経費: 930千円)
2023年度: 5,070千円 (直接経費: 3,900千円、間接経費: 1,170千円)
2022年度: 4,160千円 (直接経費: 3,200千円、間接経費: 960千円)
2021年度: 3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
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| キーワード | 精度保証付き数値計算 / 計算機援用証明 / 有限要素法 / 線形作用素の可逆性 / 射影誤差評価 / 非線形偏微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
精度保証付き数値計算とは、代数方程式や微分方程式などの解の存在および誤差限界を数学的 に保証する数値計算法です。本研究課題の目的は、応募者が構築してきた無限次元計算理論の高度化と、その基盤となる有限次元部分空間への直交射影に対する誤差評価手法の高効率化により、有限と無限をつなぐ普遍的な数値計算法を確立することにあります。また、結実した理論・方法を、非線形関数方程式の未解決問題に対する計算機援用証明に応用するとともに、無限次元固有値問題と安定性解析、さらに、非整数階微分方程式の数値的検証に展開・拡張します。
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| 研究実績の概要 |
前年度に引き続き、非線形関数方程式に対する精度保証付き数値計算手法の一般化・汎用化に取り組みました。具体的な研究実績は以下の通りです。
(1) 具体的な応用となる非線形関数方程式を念頭に、適切な方法により得られた近似解の周りで非線形関数方程式の線形化により導かれた線形作用素の可逆性検証条件の改善と、逆作用素ノルムの上界を効率的に評価する手法を推進しました。あわせて、2階楕円型作用素における収束オーダーの改善と定量的な逆作用素ノルムの誤差限界を与えることに成功し。国内学会において成果を発表しました。
(2) (1)で得られた線形化作用素の可逆性検証と逆作用素ノルム評価を用いて、非線形関数方程式を無限次元Newton型作用素による不動点形式に同値変形します。不動点問題を計算機により解くためには、計算機による取扱いが可能な有限次元部分空間の設定と、無限次元空間から有限次元部分空間への直交射影の定量的誤差評価が要請されます。様々な形状の領域にも対応する基底関数より構成される有限次元部分空間に対する直交射影の誤差の最適値を上限・下限の形で数学的に厳密かつ精緻に捉える研究を推進し、特異性を含む線形作用素への応用を含む実問題への適用に成功しました。
(3) (1)(2)により達成される理論および基盤技術を，非線形関数方程式の解の存在検証に適用しました。今年度は、Navier-Stokes方程式から導かれるProudman-Johnson問題、Elkouh問題、Bermann問題の解に対する計算機援用証明に取り組み、いくつかの検証例を得ることができました。さらに、3次元波動方程式の爆発解の存在検証に成功し、数学的な未解決問題のひとつである安定性解析への道筋を付けることができました。
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| 現在までの達成度 (段落) |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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| 今後の研究の推進方策 |
令和5年度が最終年度であるため、記入しない。
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