| 研究課題/領域番号 |
23K20813
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| 補助金の研究課題番号 |
21H01001 (2021-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2021-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分12040:応用数学および統計数学関連
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| 研究機関 | 九州大学 |
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研究代表者 |
松江 要 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (70610046)
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| 研究分担者 |
石渡 哲哉 芝浦工業大学, システム理工学部, 教授 (50334917)
高安 亮紀 筑波大学, システム情報系, 准教授 (60707743)
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| 研究期間 (年度) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
11,440千円 (直接経費: 8,800千円、間接経費: 2,640千円)
2024年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2023年度: 3,120千円 (直接経費: 2,400千円、間接経費: 720千円)
2022年度: 2,210千円 (直接経費: 1,700千円、間接経費: 510千円)
2021年度: 3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
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| キーワード | 有限時間特異性 / 発展方程式 / 精度保証付き数値計算 / 力学系 / 数値解析 / 微分方程式 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
有限時間で（通常の意味で）微分方程式が解けなくなる現象：「有限時間特異性」を、発生の判定を含めた「いつ、どこで、どのように」起こるかという基本的な問いに対して、どんな系にでも適用できるような包括的記述法を開発する。自励的・非自励的有限次元微分方程式、偏微分・時間遅れを含む無限次元微分方程式など、考察の対象は多岐にわたる。また、その記述法を応用し、具体的な系での特異性を計算・可視化するための（精度保証付き）数値計算法も開発する。
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| 研究実績の概要 |
2023年度は(i) 時間遅れを伴う微分方程式における爆発解の発見と、(ii) 退化放物型偏微分方程式の爆発解の爆発領域の漸近挙動、(iii) 高効率な精度保証付き数値計算法の開発に加え、(iv) 法双曲型不変多様体が誘導する爆発解、および非自励的微分方程式における爆発解の特徴づけを提唱した。我々が考察している有限時間特異性の特徴づけとその検証法の幅は大きく広がった。特に、(iv) に対して前年度提唱した「複数項漸近展開」の技術と組み合わせれば、(i)(ii)(iii)との組み合わせで爆発解の特徴づけがより容易に、さらに幅が広がると期待される。
さらに、分担者による結果として深層ニューラルネットモデルにおける関数の互換性、ブラックホールと電場の関係におけるモノドロミー行列の精度保証付き数値計算による結果が示された。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
(i) 時間遅れを伴う微分方程式における爆発解の発見と、(ii) 退化放物型偏微分方程式の爆発解の爆発領域の漸近挙動、(iii) 高効率な精度保証付き数値計算法の開発に加え、(iv) 法双曲型不変多様体が誘導する爆発解、および非自励的微分方程式における爆発解の特徴づけを提唱した。我々が考察している有限時間特異性の特徴づけとその検証法の幅は大きく広がった。特に、(iv) に対して前年度提唱した「複数項漸近展開」の技術と組み合わせれば、(i)(ii)(iii)との組み合わせで爆発解の特徴づけがより容易に、さらに幅が広がると期待される。しかし、前年度の「複数項漸近展開」の論文の査読が（査読者の怠慢により）大幅に遅れており、次の研究の準備が（続けて提唱している結果が、査読が完了していない結果に大きく依存しているため）滞っているのが現状である。これに加えて、2023年度後半に事業者（特に代表者）の業務変更により大幅な時間の制約が課されてしまった。全体を通して見れば、本課題の進捗は想定の範囲内にとどまっていると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
2024年度は、非自励的微分方程式系の爆発解の漸近展開、周期爆発解と名付けて提唱した無限解振動しながら爆発する解の「漸近展開と無限遠ダイナミクスの対応」の研究に加え、「偏微分方程式」をはじめとした無限次元発展方程式の爆発解の統一的記述の素地と、具体的な系で爆発解のプロファイルを見ることを可能にする精度保証付き数値計算法を構築する。常微分方程式系における理論と類似の考察に加え、代数幾何学に由来する技術を援用することで、「偏微分方程式における無限遠ダイナミクス」の理論の種ができつつある。本年度はこれを軸に、無限次元系における理論展開、数値計算法の確立を進めていく。
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