| 研究課題/領域番号 |
23K22383
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01112 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
高木 俊輔 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (40380670)
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| 研究分担者 |
田中 公 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (50724514)
權業 善範 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70634210)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
15,080千円 (直接経費: 11,600千円、間接経費: 3,480千円)
2026年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2025年度: 2,860千円 (直接経費: 2,200千円、間接経費: 660千円)
2024年度: 2,990千円 (直接経費: 2,300千円、間接経費: 690千円)
2023年度: 3,900千円 (直接経費: 3,000千円、間接経費: 900千円)
2022年度: 2,470千円 (直接経費: 1,900千円、間接経費: 570千円)
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| キーワード | 代数幾何学 / 可換環論 / 特異点 / F特異点 / 判定イデアル / 巨大Cohen-Macaulay代数 / 川又対数端末型特異点 / 乗数イデアル / 純射 / 混標数 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
Yve Andreがパーフェクトイド空間論を使って直和因子予想を肯定的に解決して以来、混標数の可換環論が急速に進展している。Linquan MaとKarl Schwedeは、Andreのアイディアを発展させて混標数の特異点論を導入し、様々な応用を得ている。本研究課題では、彼らの理論を改良し、F特異点と標数0の双有理幾何学に現れる特異点の対応に応用する。
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| 研究実績の概要 |
山口樹氏（東京大学）との共同研究において研究代表者は、正規複素代数多様体の間の純射（普遍単射）f:Y→X が与えられたとき、双有理幾何学に現れる特異点が Y から X に伝播するか調べた。Ziquan Zhuang は、Y が川又対数端末型特異点しか持たなければ、X も川又対数端末型特異点しか持たないことを証明した。この論文内でZhuangは、この結果を因子との対の場合に拡張できるか、問うている。山口氏と私は、この問いに完全な解答を与えた。つまり、D を X 上の有効 Q-Weil因子とし、E を D の f によるサイクル理論的引き戻しとしたとき、対 (Y, E) が川又対数端末型であれば、対 (X, D) も川又対数端末型であることを証明した。証明のキーとなるのが、BCM判定イデアルである。複素数体上本質的有限な局所整域 R が与えられたとき、R の標数 p への還元 Rp の絶対閉包の素数 p 全体をわたる超積 B(R) はBig Cohen-Macaulay (BCM) 代数になることが、Hans Schoutensによって証明されている。山口は、R が Q-Gorenstein環の場合に、この B(R) に付随するBCM判定イデアルが R の乗数イデアルと一致することを証明した。この山口の結果を一般化することで、主定理が得られる。
研究分担者の田中は、非代数閉体上の２次元楕円特異点について研究し、代数閉体上で知られている多くの結果を非代数閉体に拡張することに成功した。もう一人の研究分担者の權業は、ここ数年取り組んでいた向井型予想の研究の一部をまとめた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の目的は、Karl Schwede, Linquan Maによって導入された混標数の特異点論をさらに発展させ、双有理幾何学の様々な問題に応用することであった。彼らの理論において中心的な役割を果たすのがBCM判定イデアルであるが、このイデアルが等標数0の場合にどのようなものであるかはよくわかっていなかった。今回の研究で、適切なBig Cohen-Macaulay代数を考えれば、BCM判定イデアルは乗数イデアルと一致し、川又対数型特異点の研究に応用できることがわかったのは大きな進展である。成果は着実に得られており、研究は順調に進展していると言える。
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| 今後の研究の推進方策 |
純射における極小モデル理論に現れる特異点の振る舞いに関する研究を継続する。正規複素代数多様体の間の純射f:Y→XとX上の素因子Dが与えられたとき、EをDのfによるサイクル理論的引き戻しとすると、Zhuangは(Y,E)が純対数端末型であれば(X,D)も純代数端末型であることを証明している。この結果の一般化を考える。BCM判定イデアルの定義を一般化することで、随伴イデアルと一致するイデアルを構成できると考えられる。このイデアルを利用して、上記問題に取り組む。また、対数標準特異点の場合についても研究する。
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