| 研究課題/領域番号 |
23K22384
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| 補助金の研究課題番号 |
22H01113 (2022-2023)
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| 研究種目 |
基盤研究(B)
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| 配分区分 | 基金 (2024)
補助金 (2022-2023) |
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| 応募区分 | 一般 |
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| 審査区分 |
小区分11010:代数学関連
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
伊山 修 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (70347532)
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| 研究期間 (年度) |
2022-04-01 – 2027-03-31
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| 研究課題ステータス |
交付 (2024年度)
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| 配分額 *注記 |
17,290千円 (直接経費: 13,300千円、間接経費: 3,990千円)
2026年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2025年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2024年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2023年度: 3,380千円 (直接経費: 2,600千円、間接経費: 780千円)
2022年度: 3,770千円 (直接経費: 2,900千円、間接経費: 870千円)
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| キーワード | 導来圏 / 安定性条件 / 団圏 / 特異圏 / Cohen-Macaulay加群 / g-fan / silting object / cluster tilting object / AS Gorenstein代数 / 非可換超曲面 / dg圏 / mixed団傾加群 / Auslander対応 / 準傾対象 / 扇 |
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| 研究開始時の研究の概要 |
環とは加法、減法、乗法の与えられた集合であり、整数、有理数、実数、複素数などの数体系はもちろん、多項式や行列をはじめ様々な例があり、現代数学を支える重要な基礎概念の一つである。整環は、最も基本的な環のクラスの一つである。体上の有限次元代数およびCohen-Macaulay環と呼ばれる基本的な２つのクラスを共通に一般化したものであり、箙（クイバー）の道代数や有限群の群環をはじめ多くの重要な例がある。本研究計画では傾理論に基づいたアプローチにより、整環の表現論を深化させることを目的とする。
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| 研究実績の概要 |
上山健太氏, 木村雄太氏と共同(arXiv:2404.05925)で、d次元Artin-Schelter Gorenstein代数AのCohen-Macaulay表現論を調べた。この代数は非可換代数幾何で基本的な対象であり、古典的な（次数付き）Gorenstein整環を含む重要な環のクラスである。このように非可換の状況では、古典的なGorensteinパラメータは、単純加群ごとに定まる整数の組として定義されるが、それらの平均値を平均Gorensteinパラメータと呼ぶ。我々はd=1の場合に、Aの次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏に傾対象が存在する（言い換えると、Aの次数付き特異圏が環の導来圏と同値になる）ための必要十分条件が、「Aの平均Gorensteinパラメータが0以下であるか或いはAが正則である」ことを証明した。これは以前の可換Gorenstein環に対するRagnar Buchweitz氏、山浦浩太氏との共同研究の主定理を大きく拡張する成果である。証明の鍵の一つは、次数付き森田同値によりGorensteinパラメータを巧妙に制御することである。また2次の非可換超曲面の場合に、我々の圏同値を制限することによりSmith-Van den Berghの圏同値が得られることを示した。
以前の埴原紀宏氏との共同研究(arXiv:2209.14090)を改良した。次数付きGorenstein環Rと有限次元代数Aに対し、Rが孤立特異点と限らない場合にも、Rの次数付き特異圏とAの導来圏の同値から、Rの特異圏の特定の部分圏とAの団圏の同値が得られることを示した。
以前のAaron Chan氏, Rene Marczinzik氏との共同研究(arXiv:2210.06180)を改良した。特に２種類のmixed団傾加群の構成方法を与えた。
他の研究は省略する。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
上山氏、木村氏との共同研究を完成することができた。また埴原氏との共同研究の主定理を、孤立特異点で無い場合に正確に与えることができたことは、大きな進展である。他のいくつかの研究も順調に進展している。
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| 今後の研究の推進方策 |
引き続き, Auslander-Reiten理論, 傾理論, 団傾理論, 非可換特異点解消などに関する諸問題に関して, じっくりと取り組む予定である.
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